Vihető a határérték a várható érték alá? Nem mindig. Duplázd a tétet egy szabályos érmén, amíg nyersz: majdnem minden kimenetel 1 nyereséggel végződik, mégis minden szakasz várható értéke 0, mert a veszteségek egy nullához tartó halmazba zsúfolódnak, amelyet a határérték nem lát. Ezek az oldalak megmutatják, hová tűnik a tömeg, mely tételek akadályozzák meg az elszökését, és hogy a sorozatok különböző értelmekben konvergálhatnak: majdnem biztosan, valószínűségben vagy átlagban.
Monoton konvergencia: ha nemnegatív függvények egy határfüggvényhez növekednek, az integráljaik is a határ integráljához növekednek. Dominált konvergencia: ha a függvények konvergálnak, és mind egyetlen rögzített integrálható függvény alatt maradnak, az integráljaik a határ integráljához tartanak. Mindkettő olyan feltételt ad, amely mellett a határérték és a várható érték felcserélhető. Fatou lemmája csak a nemnegativitást kéri, és csak egyenlőtlenséget ad: a határ várható értéke legfeljebb a várható értékek határértéke.
Az n·1[0, 1/n) tüske, amely a 0 és 1/n közötti intervallumon n, máshol 0, minden n-re 1 várható értékű, de bármely rögzített kimenetelnél végül 0. Az egész tömege egy zsugorodó halmazban van. A határfüggvény majdnem biztosan 0, így a várható értéke 0, ami kisebb 1-nél. Fatou egyenlőtlensége bőven teljesül. Nincs olyan integrálható függvény, amely az összes tüske fölött lenne, ezért a dominált konvergencia nem alkalmazható.
Az első oldalon válts az öt sorozat között, és hasonlítsd a határ várható értékét a várható értékek határértékével: a duplázó stratégia és a tüske veszít a tömegből, a dominált és a növekvő sorozat nem. A típusok oldalán hasonlítsd össze az írógép-sorozatot, a zsugorodó tüskét és az érmedobások mintaátlagát, és nézd meg, a konvergencia három értelme közül melyiknek felel meg mindegyik.
Nem, ahogy a tüske mutatja: majdnem biztosan 0-hoz tart, de a várható értéke 1 marad. Az írógép-sorozat a másik irányba mutat példát: valószínűségben és átlagban kicsi lesz, miközben egyetlen kimenetelnél sem konvergál. A majdnem biztos konvergenciától az átlagban vett konvergenciáig felső korlát (dominancia) vagy egyenletes integrálhatóság vezet. Az átlagban vett konvergenciából mindig következik a valószínűségben vett, fordítva viszont csak további feltételekkel.