A Lebesgue-mérték hosszat ad a 0 és 1 közötti intervallum egy részhalmazának akkor is, ha az messze nem intervallum. Az ötlet: fedjük le a halmazt megszámlálhatóan sok intervallummal, és vegyük az elérhető legkisebb összhosszat. Azok a halmazok, amelyek tetszőlegesen kicsi összhosszú intervallumokban elrejthetők, a nullmértékű halmazok. Itt lefedheted a racionális számokat, a Cantor-halmazt és egy kövér Cantor-halmazt, és megnézheted, mennyi hosszra van tényleg szükségük. Egy egyenletesen véletlen pont majdnem biztosan elkerül egy nullmértékű halmazt.
Azon megszámlálhatóan sok intervallum legkisebb összhossza, amelyek együtt lefedik a halmazt. Intervallumra ez a megszokott hossz, diszjunkt intervallumok megszámlálható uniójára a hosszak összege. A definíció olyan halmazokra is működik, amelyekben egyetlen intervallum sincs, ezért szolgálhat az egyenletesen húzott szám P valószínűségeként. Ha egy halmaz lefedése tetszőlegesen rövidre készíthető, a mértéke nulla.
A sűrűség azt jelenti, hogy minden intervallumban van racionális szám, így a racionálisok nem bújhatnak el egyenként néhány kis intervallumban. De megszámlálhatók: sorold fel őket q₁, q₂, q₃ és így tovább alakban, és fedd le qₙ-et ε/2ⁿ hosszú intervallummal. Az összhossz legfeljebb ε, az ε pedig tetszőleges volt. Tehát a racionálisok hossza 0, pedig mindenhol ott vannak. Egy egyenletesen véletlen szám majdnem biztosan irracionális.
Adj magadnak ε hosszkeretet, és próbáld lefedni mindegyik halmazt. A racionálisok minden kerethez elférnek. A Cantor-halmaz kontinuum számosságú, mégis elfér, mert n lépés után az intervallumnak csak (2/3)ⁿ része marad. A kövér Cantor-halmaz minden lépésben kevesebbet vesz el, nem tartalmaz intervallumot, és mégis 1/2 hosszú, így az 1/2 alatti keret nem elég. Hasonlítsd össze a hármat, és látni fogod, hogy a méret, a sűrűség és a hossz különböző fogalmak.
Nem. A nullmértékű halmazok lehetnek sűrűek, mint a racionálisok, vagy kontinuum számosságúak, mint a Cantor-halmaz. A nulla mérték csak azt mondja, hogy az egyenletes húzás 0 valószínűséggel esik a halmazba. A 0 valószínűségű események megtörténhetnek egy kontinuum számosságú térben, hiszen valamit mindig kihúzunk. Ezért mondjuk a valószínűségi állításokat majdnem biztosan: egy nullmértékű halmazon kívül igazak, a nullmértékű halmaz pedig az integrálok és a valószínűségek szempontjából figyelmen kívül hagyható.