Részvényárfolyam szimulációja geometriai Brown-mozgással; mintapályák és az elméleti várható érték együtt.
Kvantilis-legyező (5–25–50–75–95%). Húzd a vízszintes szintet a pályafelhőn (vagy fókuszáld és használd a nyilakat). Jelölj ki oszlopokat a hisztogramon (kattintás vagy húzás), és kiemeli az ott végző pályákat. Esc törli. Lejátszáskor a pályák az idő előrehaladtával kirajzolódnak, a hisztogram pedig a t időpontbeli értékek eloszlását mutatja: a szórás √t ütemében nő.
S_T log-normális sűrűsége. Húzd a σ csúszkát a görbe alatt: az átlag helyben marad, a medián és a módusz balra csúszik. A háromszögek a 400 szimulált pálya mintaátlagát és mintamediánját jelölik.
Az átlagos záróár S₀·e^(μT) = 108.33. Hol végez a tipikus pálya, vagyis mekkora S_T mediánja?
A geometriai Brown-mozgás a részvényárak standard modellje és a Black–Scholes-modell alapja. Az árak véletlen százalékokkal változnak, nem véletlen összegekkel, ezért pozitívak maradnak és lognormális eloszlásúak. A szimulátor adott sodródás és volatilitás mellett mutat pályákat, az S₀e^{μt} elméleti várható értékkel együtt.
Pozitívan tartja az árakat, és a hozamot teszi véletlenné, nem az árváltozást — ahogy egy részvény ugyanakkora eséllyel emelkedik 10%-ot 10-es és 100-as árszinten is.
A lognormális eloszlás ferde: néhány nagyon magas kimenet felhúzza az átlagot, miközben a medián pálya csak μ − ½σ² ütemben nő.
Az ár a dS = μS dt + σS dW egyenletet követi, amelynek megoldása S_t = S₀ exp((μ − ½σ²)t + σW_t). A logaritmikus ár így normális eloszlású ln S₀ + (μ − ½σ²)t várható értékkel és σ²t varianciával, maga az ár pedig lognormális.
Állandó volatilitást és normális eloszlású loghozamokat feltételez. A valódi hozamok eloszlásának vastagabb a széle, vannak hirtelen ugrások, a volatilitás pedig időben változik és esésekkor megugrik. Ezért bővítik ki a sztochasztikus volatilitású modellek, például a Heston-modell, és az ugró diffúziós modellek.