Hozamok és volatilitás

A „Kamat, kamatozás és diszkontálás” című lecke ismert ütemben növekvő pénzzel foglalkozott. Egy részvény nem ilyen: az árfolyama fel-le mozog, és senki sem tudja pontosan előre jelezni. Ez a lecke bevezeti az ilyen mozgások leírására használt két számot, az átlagos hozamot és a volatilitást, és megmutatja, hogyan függ mindkettő a tartási idő hosszától.

Árfolyamok és hozamok

Jelölje $S_t$ egy részvény árfolyamát a $t$ időpontban. Magukat az árfolyamokat nehéz összehasonlítani: egy 5 egységnyi elmozdulás sokat jelent egy 20-as részvénynél, és keveset egy 1000-esnél. A befektetőt a kiinduló árhoz viszonyított változás érdekli. Ezért árfolyamok helyett hozamokat vizsgálunk, vagyis egy időszak alatti relatív változást.

A lecke végig osztalékot nem fizető részvényt feltételez, így a hozam teljes egészében az árváltozásból származik.

Egyszerű hozam

A $t-1$ és $t$ közötti egyszerű hozam

A hétköznapi „10%-ot emelkedett a részvény” mondat erre a számra utal. A hátránya akkor jön elő, amikor több időszakot fűzünk egymás után. Két időszak alatt a teljes növekedési tényező az $(1+R_1)(1+R_2)$ szorzat, nem a hozamok összege.

Példa: az árfolyam 100-ról 110-re megy, majd vissza 99-re. Az egyszerű hozamok $+10\%$ és $-10\%$. Összegük nulla, a befektető mégis 1%-ot veszített, hiszen $1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99$.

Loghozam

A loghozam (folytonos hozam) a növekedési tényező természetes logaritmusa:

Ez az a ráta, amely az időszak alatt folytonosan kamatozva $S_{t-1}$-ből $S_t$-t csinál, pontosan úgy, mint a „Kamat, kamatozás és diszkontálás” leckében: $S_t = S_{t-1}e^{r_t}$. Mivel a logaritmus a szorzatot összeggé alakítja, az egymást követő időszakok loghozamai összeadódnak:

A fenti példában $\ln 1{,}1 \approx 0{,}0953$ és $\ln 0{,}9 \approx -0{,}1054$. Összegük $-0{,}0101 = \ln 0{,}99$, ami helyesen mutatja az 1%-os veszteséget. Kis elmozdulásoknál a kétféle hozam szinte egyenlő, mert nullához közeli $R$ esetén $\ln(1+R) \approx R$.

Innentől a „hozam” loghozamot jelent. Az összeadhatóság miatt lesznek az alábbi skálázási szabályok ilyen egyszerűek.

Várható érték és szórás

Tekintsük az egy időszakra eső hozamot $r$ valószínűségi változónak. A várható értéke $\mathbb{E}[r]$ az az átlagos hozam, amelyet sok ismétlés során látnánk. A szórása azt méri, mekkora jellemzően az eltérés ettől az átlagtól:

$n$ megfigyelt hozamból, $r_1, \dots, r_n$, ezeket így becsüljük:

Példa: négy napi hozam, $2\%$, $-1\%$, $3\%$ és $-2\%$. Az átlag $\bar r = 0{,}5\%$. Az eltérések (százalékban) $1{,}5$, $-1{,}5$, $2{,}5$ és $-2{,}5$, négyzetösszegük 17, így $s = \sqrt{17/3} \approx 2{,}38\%$ naponta.

Volatilitás

A volatilitás, $\sigma$, a loghozamok évesített szórása. Egy $\sigma = 20\%$-os részvény éves loghozama jellemzően nagyjából 20 százalékponton belül marad a várható értékétől. A volatilitás azt méri, mennyire bizonytalan a kimenet, nem azt, hogy merre mozdul az ár.

A $\sigma$ volatilitás a loghozamok évesített szórása. A $\mu$ drift a loghozamok évesített várható értéke.

Évesítés és a négyzetgyökös időszabály

A hozamokat naponta vagy havonta mérjük, a $\mu$-t és a $\sigma$-t viszont évre vetítve adjuk meg. Az átváltáshoz két feltevés kell: a nem átfedő időszakok hozamai függetlenek, és mind azonos eloszlásúak. Osszunk fel egy $T$ éves időtávot $n$ darab $\Delta t = T/n$ hosszú időszakra; mindegyik várható értéke $\mu\,\Delta t$, varianciája $\sigma^2\Delta t$. A teljes loghozam az időszaki hozamok összege, ezért

A varianciák a függetlenség miatt adódnak össze. Gyököt vonva kapjuk a négyzetgyökös időszabályt:

A várható érték $T$-vel arányosan nő, a szórás csak $\sqrt{T}$-vel arányosan. Évi kb. 252 kereskedési nappal számolva az $1{,}2\%$-os napi szórás $1{,}2\% \times \sqrt{252} \approx 19{,}0\%$-os éves volatilitásnak felel meg. Visszafelé: évi $\sigma = 20\%$ havonta $20\% / \sqrt{12} \approx 5{,}8\%$-ot jelent.

A normális eloszlás mint első modell

Egyszerű első modellként feltesszük, hogy a $T$ év alatti loghozam normális eloszlású:

Ez az előző szakasz után kézenfekvő: a teljes loghozam sok kicsi, független tag összege, az ilyen összegek pedig közelítőleg normális eloszlásúak (centrális határeloszlás-tétel). Normális változónál a kimenetek kb. 68%-a esik a várható érték körüli egy szórásnyi sávba, és kb. 95%-a a kétszórásnyiba.

Példa: $\mu = 8\%$, $\sigma = 20\%$ és $T = 4$ év mellett a várható loghozam $\mu T = 0{,}32$, a szórás $\sigma\sqrt{T} = 0{,}40$. Az egyszórásnyi sáv $-0{,}08$ és $0{,}72$ között van. Árfolyamban kifejezve egy 100-ról induló részvény nagyjából három esetből kettőben $100\,e^{-0{,}08} \approx 92{,}3$ és $100\,e^{0{,}72} \approx 205{,}4$ között végez.

A valódi hozamok eloszlásának vastagabb a farka, mint a normális eloszlásnak: a nagy elmozdulások gyakrabban fordulnak elő, mint ahogy az előre jelzi. A modell ennek ellenére a szokásos kiindulópont, és a későbbi leckék erre építenek.

Az ábra a $\mu T$ várható kumulált loghozamot mutatja 10 évig terjedő időtávokra, a $\mu T \pm \sigma\sqrt{T}$ és $\mu T \pm 2\sigma\sqrt{T}$ sávokkal együtt. Növeld a $\sigma$-t, és figyeld meg, hogy a sávok kiszélesednek, a középvonal viszont nem mozdul. Rövid távon a sávok elnyomják a driftet; a vonal csak hosszú távon távolodik el a nullától a sávok szélességéhez képest.

Összefoglalás

• Nem az árfolyamot, hanem a hozamot modellezzük. Az $\ln(S_t/S_{t-1})$ loghozamok egymást követő időszakokra összeadódnak.
• A $\sigma$ volatilitás a loghozamok évesített szórása, a $\mu$ az évesített várható értékük.
• Független, azonos eloszlású hozamoknál a várható érték $\mu T$-ként, a szórás $\sigma\sqrt{T}$-ként nő.
• Első modellként $\ln(S_T/S_0)$ normális eloszlású, $\mu T$ várható értékkel és $\sigma^2 T$ varianciával.

A következő lecke („Diverzifikáció és korreláció”) több eszközt kombinál, és megmutatja, hogyan adódnak össze a volatilitásaik. Hogy honnan jön a $\sqrt{T}$, azt a Sztochasztikus modellek sorozat első leckéje, a „Véletlen bolyongás és Brown-mozgás” mutatja meg.