Kötvényárak és hozamok

A kötvény a legegyszerűbb olyan értékpapír, amelynek értéke teljes egészében diszkontálásból adódik: rögzített időpontokban rögzített kifizetéseket ígér, az ára pedig az, amennyit ezek a kifizetések ma érnek. Ez a lecke beárazza a kötvényt, definiálja a hozamát, és megmagyarázza, miért mozog az ár és a hozam ellentétes irányban. A „Kamat, kamatozás és diszkontálás” lecke anyagára épül.

A kötvény mint pénzáramlások sora

Egy egyszerű fix kamatozású kötvénynek van névértéke ($F$, más néven tőkeösszeg), éves kuponrátája ($c$) és lejárata ($T$ év). Ebben a témakörben mindig $F = 100$, és évente egy kuponfizetést feltételezünk. A tulajdonos minden $t = 1, \dots, T$ év végén $cF$ kupont kap, az utolsó kuponnal együtt pedig a névértéket is.

Példa: egy 10 éves, $c = 5\%$-os kötvény az 1–9. év végén 5-öt, a 10. év végén $5 + 100 = 105$-öt fizet. Ebben a leírásban semmi sem bizonytalan; feltesszük, hogy a kibocsátó nem megy csődbe.

Az ár mint jelenérték

Diszkontáljunk minden pénzáramlást ugyanazzal az éves $y$ rátával, éves kamatozással, ahogy a „Kamat, kamatozás és diszkontálás” leckében, és adjuk össze a jelenértékeket. Az eredmény az ár, $P$:

A kuponok annuitást alkotnak, így az összegnek zárt alakja van:

Minden tag egy kifizetés szorozva az $1/(1+y)^t$ diszkontfaktorral. Minél távolabbi egy kifizetés, annál jobban zsugorodik.

Lejáratig számított hozam

A piacon fordított az irány: az árat látjuk, $y$ az ismeretlen. A lejáratig számított hozam (YTM) az az egyetlen $y$ ráta, amellyel a pénzáramlások jelenértéke éppen a piaci árat adja. A beruházás-értékelés nyelvén ez annak a belső megtérülési rátája (IRR), hogy a kötvényt $P$-n megvesszük és lejáratig tartjuk.

$T > 1$ esetén $y$-ra nincs zárt képlet; numerikusan keressük meg (például intervallumfelezéssel), ami könnyű, mert az ár $y$-nak szigorúan csökkenő függvénye. A hozam összefoglaló szám: feltételezi, hogy minden pénzáramlást ugyanazzal a rátával diszkontálunk.

Lejáratig számított hozam: az az egyetlen $y$ diszkontráta, amellyel az összes ígért pénzáramlás jelenértéke megegyezik a kötvény árával.

Az ár–hozam kapcsolat

Az árképlet minden tagjában $y$ a nevezőben áll, így magasabb hozam alacsonyabb árat, alacsonyabb hozam magasabb árat jelent. A kapcsolat nem egyenes. Az $(1+y)^{-t}$ tagokat kétszer deriválva pozitív eredményt kapunk, tehát az $y \mapsto P(y)$ görbe konvex: alacsony hozamoknál meredeken esik, magas hozamoknál ellaposodik. Egy 1%-os hozamemelkedés ezért kevésbé csökkenti az árat, mint amennyivel egy 1%-os hozamcsökkenés növeli.

Prémiumos, névértéken és diszkonton forgó kötvények

Vessük össze a kuponrátát a hozammal.

• Névértéken (par): ha $c = y$, az ár $F$. A kupon minden évben pontosan annyi kamatot fizet, amennyit a piac elvár, így az áron keresztül nincs mit kiegyenlíteni.
• Prémiummal: ha $c > y$, a kötvény többet fizet a piaci rátánál, ezért a vevők $F$-nél többet adnak érte.
• Diszkonttal: ha $c < y$, a kupon túl alacsony, ezért a kötvény $F$ alatt forog, hogy a lejáratig $F$-ig emelkedő ár pótolja a hiányt.

Elemi (zérókuponos) kötvények

A zérókuponos kötvény kuponrátája $c = 0$: csak $T$-ben fizet $F$-et. Ára egyetlen diszkontált összeg,

így a hozama közvetlenül kifejezhető: $y = (F/P)^{1/T} - 1$. Egy 10 éves zérókuponos kötvény $y = 6\%$ mellett $100/1{,}06^{10} \approx 55{,}84$-be kerül. Pozitív hozamnál a zérókuponos kötvény mindig diszkonton forog, és minden más kötvény építőköve: a kuponos kötvény zérókuponos kötvények csomagja, minden kifizetési időpontra egy.

Szelvényhozam

Gyakran idéznek egy egyszerűbb számot, a szelvényhozamot (current yield): az éves kupon osztva az árral, $cF/P$. Ez figyelmen kívül hagyja, hogy lejáratig az ár $F$-hez mozdul, és ebből nyereség vagy veszteség adódik. Diszkontos kötvénynél a YTM nagyobb a szelvényhozamnál, az pedig nagyobb a kuponrátánál; prémiumos kötvénynél fordított a sorrend. Névértéken mindhárom egyenlő.

Számpélda

Legyen $c = 5\%$, $T = 10$, $y = 6\%$. Az annuitásfaktor $(1 - 1{,}06^{-10})/0{,}06 \approx 7{,}360$, így

A kupon a hozam alatt van, ezért a kötvény diszkonton forog. Szelvényhozama $5/92{,}64 \approx 5{,}40\%$, az 5%-os kuponráta és a 6%-os YTM között. Ugyanilyen hozam mellett 7%-os kuponnal az ár kb. 107,36, prémiumos; $y = 5\%$ mellett az 5%-os kötvény pontosan 100-at ér.

Az ábra az árat mutatja 0% és 15% közötti hozamok függvényében, vízszintes vonallal a névértéknél (100) és függőlegessel a választott hozamnál. A kijelzők az árat, azt, hogy prémiummal, névértéken vagy diszkonttal forog-e, valamint a szelvényhozamot mutatják. Mozgasd $y$-t a kuponráta egyik oldaláról a másikra, és figyeld meg, hogy az ár pontosan ott metszi a 100-at. Növeld $T$-t, és a görbe meredekebb és görbültebb lesz; állítsd $c$-t 0-ra, és zérókuponos kötvényt kapsz.

Névértékhez húzás

Ha a hozam nem változik, a kötvény ára a lejárat közeledtével $F$ felé mozdul, mert egyre kevesebb kupon marad, amely túl- vagy alulárazott lehetne, és a névértéket egyre rövidebb időre diszkontáljuk. $c = 5\%$ és $y = 6\%$ mellett az ár 10 év hátralévő futamidőnél kb. 92,64, 5 évnél 95,79, egy évnél 99,06, lejáratkor pedig 100. Ez a névértékhez húzás (pull to par). Az ábrán rögzített hozam mellett csökkentsd $T$-t: a görbe a névértékvonal felé laposodik.

Összefoglalás

• A fix kamatozású kötvény ismert pénzáramlások sora: évente $cF$ kupon, lejáratkor az $F$ névérték.
• Az ára e pénzáramlások jelenértéke; a lejáratig számított hozam az az egyetlen ráta, amely visszaadja a piaci árat (a kötvény IRR-je).
• Az ár és a hozam ellentétes irányban mozog, egy konvex görbe mentén.
• A kötvény $c = y$ esetén névértéken, $c > y$ esetén prémiummal, $c < y$ esetén diszkonttal forog; változatlan hozam mellett az ára a lejárat közeledtével a névérték felé tart.

A következő lecke, a „Duráció és konvexitás”, az ár–hozam görbe meredekségét és görbületét méri.