A tükrözési elv és az első elérési idők

Ez a lecke kiszámítja a Brown-mozgás futó maximumának eloszlását, valamint annak az időpontnak az eloszlását, amikor a folyamat először elér egy adott szintet. Az eszköz a tükrözési elv, amely a „A Brown-mozgás tulajdonságai” című lecke erős Markov-tulajdonságán és a „Filtrációk, adaptált folyamatok és megállási idők” című lecke megállásiidő-fogalmán alapul. Az eredmények pontos, zárt alakú képletek, és ezekre épül a korlátos (barrier) opciók árazása.

Futó maximum és első elérési idő

Legyen $W$ standard Brown-mozgás $(\mathcal{F}^W_t)$ természetes filtrációval, és rögzítsünk egy $a > 0$ szintet. A futó maximum és az első elérési idő

A maximum létezik, mert a pálya a kompakt $[0, t]$ intervallumon folytonos. Mivel $W_0 = 0 < a$ és a pályák folytonosak, a Bolzano-tétel az alábbi eseményazonosságot adja:

$\tau_a$ megállási idő. A folytonosság miatt $M_t \ge a$ pontosan akkor teljesül, ha minden $n$-hez van olyan racionális $q \in [0, t]$, amelyre $W_q > a - 1/n$, ezért

vagyis megszámlálható sok, egyenként a $t$ időpontban ismert esemény kombinációja. A rekurrencia miatt $\tau_a < \infty$ majdnem biztosan; ez az alábbi képletből is következik.

A tükrözési érvelés

Definiáljuk a tükrözött pályát: kövessük $W$-t addig, amíg először eléri $a$-t, utána tükrözzük az $y = a$ egyenesre:

Állítás: $\widetilde W$ ismét standard Brown-mozgás. Itt lép be az erős Markov-tulajdonság. A $\tau_a$ megállási időben alkalmazva azt mondja, hogy a $B_s = W_{\tau_a + s} - a$, $s \ge 0$ folyamat $\mathcal{F}_{\tau_a}$-tól független Brown-mozgás, így speciálisan független a $(W_{t \wedge \tau_a})_{t \ge 0}$ megállított pályától. A szimmetria miatt $-B$ is $\mathcal{F}_{\tau_a}$-tól független Brown-mozgás. Ezért a (megállított pálya, $B$) és a (megállított pálya, $-B$) párok együttes eloszlása azonos. $W$ az első párból úgy áll elő, hogy a megállított pályához $\tau_a$-ban hozzáragasztjuk $a + B$-t, $\widetilde W$ pedig a második párból ugyanezzel a ragasztó leképezéssel, tehát $W$ és $\widetilde W$ eloszlása megegyezik.

Mindkét feltétel lényeges. Rögzített $s$ időpontban elég volna a közönséges Markov-tulajdonság, de $\tau_a$ véletlen. Előretekintő véletlen időpontra pedig az érvelés megbukna: ha például a $[0, 1]$-en vett maximum elérésének időpontjában állnánk meg, utána a pálya kénytelen a maximuma alatt maradni, tehát nem friss Brown-mozgás.

Most számoljuk meg a pályákat. $\widetilde W$ ugyanabban a $\tau_a$ időpontban éri el $a$-t, mint $W$, és a $\{\tau_a \le t\}$ eseményen $\widetilde W_t = 2a - W_t$, így $W_t < a$ pontosan akkor, ha $\widetilde W_t > a$. Felhasználva, hogy $\widetilde W$ eloszlása $W$-éval egyezik, és hogy $\{W_t > a\} \subset \{\tau_a \le t\}$,

Mivel $\mathbb{P}(W_t = a) = 0$, az $\{M_t \ge a\}$ eseményt $W_t - a$ előjele szerint kettébontva kapjuk a tételt.

Tükrözési elv: $a > 0$ és $t > 0$ esetén $\mathbb{P}(M_t \ge a) = 2\,\mathbb{P}(W_t \ge a) = 2\big(1 - \Phi(a/\sqrt{t})\big)$. Speciálisan $M_t$ eloszlása megegyezik $|W_t|$ eloszlásával.

Az utolsó állítás azért igaz, mert $a > 0$ esetén $\mathbb{P}(|W_t| \ge a) = 2\,\mathbb{P}(W_t \ge a)$. Jó kép erre egy $a$ magasságban elhelyezett tükör: minden pályának, amely megérinti $a$-t és alatta végez, van egy ugyanolyan valószínű tükörképe, amely fölötte végez, így az érintő pályák egyenlően oszlanak meg a két oldal között. A pénzfeldobásos bolyongásra ugyanez az érvelés $\pm 1$-es lépésekkel pontos, és ez André klasszikus megoldása a szavazási problémára.

Számpélda

Legyen $a = 1$, $t = 1$. Ekkor $\mathbb{P}(W_1 \ge 1) = 1 - \Phi(1) \approx 0{,}1587$, és

Körülbelül minden harmadik pálya eléri az 1-es szintet egységnyi idő alatt, pedig csak minden hatodik végez fölötte. Mivel $M_1 \sim |W_1|$, a maximum várható értéke $\mathbb{E}[M_1] = \mathbb{E}|W_1| = \sqrt{2/\pi} \approx 0{,}7979$.

Alkalmazás: modellezzük a logárfolyamot drift nélkül, $\ln(S_t/S_0) = \sigma W_t$, ahol $S_0 = 100$ és $\sigma = 20\%$. Annak valószínűsége, hogy a részvény egy éven belül megérinti a 120-at, megegyezik annak valószínűségével, hogy $W$ a $t = 1$ időpontig eléri az $a = \ln(1{,}2)/0{,}2 \approx 0{,}9116$ szintet:

Ha a logárfolyamnak $\nu$ driftje van, $X_s = \nu s + \sigma W_s$, a tükrözési elv közvetlenül nem alkalmazható, mert a driftes folyamat nem szimmetrikus. A „Mértékcsere és a Girsanov-tétel” című leckében a drift eltávolításával kapott eredmény

$\nu = 0$ esetén ez $2(1 - \Phi(m/(\sigma\sqrt{T})))$-re egyszerűsödik. $\nu = -\sigma^2/2 = -0{,}02$ mellett (nulla várható részvényhozam) a fenti érintési valószínűség körülbelül $0{,}330$.

Az ábra rögzíti a $T = 1$ értéket, az $a$ szint pedig 0,2 és 2,5 között állítható (alapérték 1). Egy olyan mintapályát rajzol, amely eléri $a$-t (addig sorsol újra, amíg ilyet nem talál), az $y = a$ egyenest, valamint szaggatott vonallal a pálya $\tau_a$ utáni tükörképét; az „Új pálya” gomb újat sorsol. A kijelzők 20 000, egyenként 500 lépéses szimulált pályából számolnak: azon pályák aránya, amelyek maximuma legalább $a$, a pontos $2(1 - \Phi(a))$ érték, és azon pályák aránya, amelyekre $W_1 \ge a$. Az első közel kétszerese a harmadiknak. Kissé el is marad a pontos értéktől, mert a szimulált maximumot csak az 500 rácspontban vesszük, így a rácspontok közötti átlépések rejtve maradnak; $a = 1$ esetén $0{,}317$ helyett nagyjából $0{,}30$ jön ki. „A Brown-híd” című lecke kiszámítja egy ilyen rejtett átlépés valószínűségét.

Az első elérési idő eloszlása

Mivel $\{\tau_a \le t\} = \{M_t \ge a\}$, a tükrözési elv megadja $\tau_a$ eloszlásfüggvényét, $t$ szerint deriválva pedig (felhasználva, hogy $\tfrac{d}{dt}\,a t^{-1/2} = -\tfrac12 a t^{-3/2}$) a sűrűségfüggvényét:

Ez a Lévy-eloszlás. Két tény következik belőle:

• $\mathbb{P}(\tau_a < \infty) = \lim_{t \to \infty} 2(1 - \Phi(a/\sqrt{t})) = 2(1 - \Phi(0)) = 1$: minden szintet majdnem biztosan elér.
• $\mathbb{E}[\tau_a] = \infty$: nagy $t$-re $t\,f_{\tau_a}(t) \approx a\,(2\pi)^{-1/2}\,t^{-1/2}$, ami az $[1, \infty)$ intervallumon nem integrálható.

A szint elérése biztos, a várható várakozási idő mégis végtelen. A medián véges: $\mathbb{P}(\tau_a \le t) = \tfrac12$, ha $a/\sqrt{t} = \Phi^{-1}(0{,}75) \approx 0{,}6745$, azaz $t \approx 2{,}198\,a^2$. Az $a^2$ szorzó a skálázás következménye: $\tau_a$ eloszlása megegyezik $a^2\tau_1$ eloszlásával. Ez megvilágít egy pontot a „Feltételes várható érték és martingálok” című leckéből is: $W$ martingál $W_0 = 0$ kezdőértékkel, mégis $W_{\tau_a} = a$. A $\tau_a$-ban való megállás csak azért teszi a fair játékot biztos nyereséggé, mert $\tau_a$ nem korlátos és várható értéke végtelen, így az opcionális megállási tétel nem alkalmazható.

A maximum és a végpont együttes eloszlása

Ugyanez a tükrözés többet is ad. Ha $a \ge 0$ és $x \le a$, akkor a $\{\tau_a \le t\}$ eseményen a $W_t \le x$ feltétel ekvivalens a $\widetilde W_t \ge 2a - x$ feltétellel, és $2a - x \ge a$ maga után vonja, hogy $\tau_a \le t$. Ezért

$a$ és $x$ szerint deriválva kapjuk az együttes sűrűségfüggvényt:

Például annak valószínűsége, hogy a pálya az 1-es időpontig eléri az 1-et, de legfeljebb 0-ban végez, $\mathbb{P}(W_1 \ge 2) = 1 - \Phi(2) \approx 0{,}0228$.

A korlátos opciókhoz éppen erre az együttes eloszlásra van szükség. Egy felfelé kiütő (up-and-out) vételi opció csak akkor fizet $(S_T - K)^+$ összeget, ha az árfolyam a teljes $[0, T]$ időszakban a $H$ korlát alatt marad. A Black–Scholes-modellben a logárfolyam driftes Brown-mozgás, az opció ára pedig a kifizetés diszkontált integrálja a maximum és a végpont együttes sűrűségfüggvénye szerint, a fenti módon driftre korrigálva. A gyakorlatban használt zárt alakú korlátos opciós árak pontosan ebből a számításból származnak.

Összefoglalás

• $\tau_a = \inf\{t : W_t = a\}$ megállási idő, és $\{\tau_a \le t\} = \{M_t \ge a\}$.
• A $\tau_a$-beli erős Markov-tulajdonság miatt a $\tau_a$ után tükrözött pálya is Brown-mozgás; ebből $\mathbb{P}(M_t \ge a) = 2(1 - \Phi(a/\sqrt{t}))$ és $M_t \sim |W_t|$.
• $\tau_a$ sűrűségfüggvénye az $a(2\pi t^3)^{-1/2}e^{-a^2/(2t)}$ Lévy-sűrűség: majdnem biztosan véges, de várható értéke végtelen.
• $x \le a$ esetén $\mathbb{P}(M_t \ge a, W_t \le x) = 1 - \Phi((2a - x)/\sqrt{t})$; ezzel az együttes eloszlással árazhatók a korlátos opciók.
• Diszkrét időrácson a szimulált maximum lefelé torzít, mert a rácspontok közötti átlépések kimaradnak.