Kockázatsemleges valószínűségek

„Az egylépéses binomiális modell” leckében a call ára egy replikáló portfólió költségeként adódott: $C_0 = \Delta S_0 + B$. Ez a lecke ezt az árat a két lehetséges kifizetés diszkontált súlyozott átlagaként írja fel. A súlyok valószínűségként viselkednek; ezek a kockázatsemleges valószínűségek, amelyeket minden későbbi árazási modell használ.

A kiinduló modell

Az egylépéses modellt változatlanul hagyjuk: a részvény $S_0$-ról $uS_0$-ra vagy $dS_0$-ra lép, a kötvény a periódus alatt $(1+r)$-szeresére nő, és $d < 1+r < u$. Az opció felfelé állapotban $C_u$-t, lefelé állapotban $C_d$-t fizet. A felfelé állapot valós valószínűsége $p$, ahol $0 < p < 1$.

A replikációs ár átírása

Induljunk ki az előző lecke replikáló portfóliójából:

Adjuk össze $\Delta S_0$-t és $B$-t, közös nevezőre hozva $(u-d)(1+r)$-rel:

Csoportosítsuk a $C_u$-t és a $C_d$-t tartalmazó tagokat:

Legyen

Ekkor az ár alakja

A $q$ mint valószínűség

A $d < 1+r < u$ arbitrázsmentességi feltétel miatt a $(1+r) - d$ számláló pozitív és kisebb $u - d$-nél, tehát $0 < q < 1$. A $q$ és $1-q$ súly pozitív, összegük egy. Két kimenetelen egy valószínűséghez ennyi kell. Jelölje $\mathbb{Q}$ azt a valószínűségi mértéket, amely a felfelé állapotnak $q$ valószínűséget ad; ekkor az ár

ahol $X$ az 1. időpontbeli kifizetés. Ugyanez a képlet bármely kifizetésre érvényes, mert a levezetés sehol nem használta ki a call alakját. Ha az arbitrázsmentességi feltétel sérül, $q$ kiesik a $(0,1)$ intervallumból, és a képletnek nincs értelme; ez összhangban van azzal, hogy egy ilyen piacon egyáltalán nincsenek konzisztens árak.

Kockázatsemleges árazás. Ha $q = \frac{(1+r)-d}{u-d}$, bármely $X$ kifizetés arbitrázsmentes ára $\frac{1}{1+r}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[X]$: a $\mathbb{Q}$ szerinti várható kifizetés, a kockázatmentes kamattal diszkontálva.

A valós $p$ valószínűség nem szerepel

A $q$ képletében csak $u$, $d$ és $r$ szerepel, a valós $p$ valószínűség nem. Két befektető, akik nem értenek egyet abban, mennyire valószínű a felfelé lépés, mégis ugyanazt az opcióárat kapja, ha $S_0$-ban, $u$-ban, $d$-ben és $r$-ben egyetértenek. Ennek oka a replikációs érv: a portfólió minden állapotban reprodukálja a kifizetést, így közömbös, milyen gyakran következnek be az egyes állapotok.

A valós valószínűség a részvényáron keresztül már hat. Ha a piac nagyon valószínűnek tartja a felfelé lépést, felveri $S_0$-t, és $S_0$ bemenő adat. Adott $S_0$ mellett viszont az opció ára már nem függ tovább $p$-től.

Kidolgozott példa

Használjuk az előző lecke számait: $S_0 = 100$, $u = 1{,}2$, $d = 0{,}9$, $r = 2\%$, $K = 100$, így $C_u = 20$ és $C_d = 0$.

Ez ugyanaz a 7,84, amelyet a replikáló portfólió adott. Tegyük fel most, hogy a felfelé lépés valós valószínűsége $p = 0{,}6$. Ha a $\mathbb{P}$ szerinti várható kifizetést a kockázatmentes kamattal diszkontáljuk, a naiv árat kapjuk:

Ha a call 11,76-on kereskedne, eladhatnánk, 7,84-ért felépíthetnénk a replikáló portfóliót, és kockázat nélkül megtarthatnánk 3,92-t. A naiv ár tehát hibás, és a hiba abból ered, hogy egy kockázatos kifizetést a kockázatmentes kamattal diszkontáltunk.

A részvény hozama $\mathbb{Q}$ alatt $r$

Alkalmazzuk az árazási képletet magára a részvényre, amelynek kifizetése $uS_0$ vagy $dS_0$:

$\mathbb{Q}$ alatt a részvény várható hozama a kockázatmentes kamatláb. Innen a név: $\mathbb{Q}$ az a valószínűség, amely mellett egy kockázatsemleges befektető, aki a kockázatvállalásért nem vár többlethozamot, elfogadná a megfigyelt árakat. Másképp fogalmazva, a diszkontált részvényár várható értéke a mai ár,

vagyis a diszkontált ár $\mathbb{Q}$ alatt martingál: várható jövőbeli értéke a jelenlegi értéke.

A valós valószínűség szerint a részvény általában többet hoz. A $p = 0{,}6$ példában a várható növekedési szorzó $0{,}6\cdot 1{,}2 + 0{,}4\cdot 0{,}9 = 1{,}08$, azaz 8% várható hozam, szemben a $\mathbb{Q}$ szerinti 2%-kal. A 6% különbség a kockázati prémium. Képzeld el $\mathbb{Q}$-t egy szándékosan átsúlyozott dobókockaként: a lapok ugyanazok, de a súlyokat úgy választjuk, hogy minden forgalmazott termék átlagosan pontosan $r$-et hozzon. Számítási eszköz, nem előrejelzés.

Naiv ár és arbitrázsmentes ár

Az ábra rögzíti az $S_0 = 100$, $u = 1{,}2$, $d = 0{,}9$ és $K = 100$ értékeket, és két árat rajzol a valós $p$ valószínűség függvényében. A $\frac{1}{1+r}\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[X]$ naiv ár $p$-vel nő, az arbitrázsmentes ár vízszintes egyenes. A kettő ott metszi egymást, ahol $p = q$. Mozgasd $p$-t, és figyeld meg, hogy csak a naiv ár és a $\mathbb{P}$ szerinti várható részvényhozam változik; aztán mozgasd $r$-et, és figyeld meg, hogy $q$ és az arbitrázsmentes ár változik, a $\mathbb{Q}$ szerinti várható hozam pedig mindig $r$.

$\mathbb{P}$ és $\mathbb{Q}$ szerepe

• $\mathbb{P}$ azt írja le, ami ténylegesen történik. Előrejelzésre, kockázatmérésre és várható hozamok becslésére használjuk.
• $\mathbb{Q}$-t a forgalmazott termékek árai határozzák meg. Replikálható derivatívák árazására használjuk.
• A két mérték ugyanazokat a kimeneteleket tartja lehetségesnek; csak a rájuk tett súlyokban különböznek.

Összefoglalás

• A replikációs ár felírható $C_0 = \frac{1}{1+r}[qC_u + (1-q)C_d]$ alakban, ahol $q = \frac{(1+r)-d}{u-d}$.
• Az arbitrázsmentesség, $d < 1+r < u$, pontosan a $0 < q < 1$ feltétel.
• A valós $p$ valószínűség nem szerepel az árban; ha $\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[X]$-et $r$-rel diszkontáljuk, hibás, arbitrálható árat kapunk.
• $\mathbb{Q}$ alatt a részvény a kockázatmentes kamatot hozza, $\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[S_1] = (1+r)S_0$, és a diszkontált ár martingál.