Kamatcsereügyletek

A kamatcsereügylet (swap) a legtöbbet kereskedett kamatderivatíva. Két fél ugyanarra az összegre számolt kamatfizetéseket cserél: az egyik fix kamatot fizet, a másik változót, amelyet minden időszak elején újra rögzítenek. A lecke megmutatja, hogy a swap valójában két kötvény különbsége, beárazza az „Azonnali kamatok, forward kamatok és a hozamgörbe” című lecke diszkontfaktoraival, és levezeti a par swapkamatot. Épít a „Kötvényárak és hozamok” kötvényárazására is.

Az egyszerű kamatcsereügylet

Az egyszerű (plain-vanilla) kamatcsereügyletet négy dolog határozza meg:

• a névleges összeg $N$, amelyre a kamatot számolják; ezt soha nem cserélik ki;
• a fix kamatláb $s$, amelyet ma rögzítenek az ügylet teljes futamidejére;
• minden időszakra egy változó kamatláb $L_i$: egy rövid lejáratú referenciakamat, amelyet az időszak elején, a kamatfixálás napján figyelnek meg, és az időszak végén fizetnek;
• a kifizetési napok $t_1 < t_2 < \dots < t_n$, a $\tau_i = t_i - t_{i-1}$ években mért kamatszámítási hányadokkal ($t_0 = 0$).

Minden $t_i$ napon a fix láb $N s\,\tau_i$ összeget, a változó láb $N L_i\,\tau_i$ összeget fizet. A gyakorlatban csak a különbség cserél gazdát. Aki fixet fizet és változót kap, az fix fizető swapot (payer swap) tart; a másik fél fix kapó swapot (receiver swap). A leckében a kifizetések évesek, így $\tau_i = 1$, a képletek azonban megtartják $\tau_i$-t, hogy bármilyen gyakoriságra érvényesek legyenek.

A swap mint két kötvény

Adjunk hozzá mindkét lábhoz a $t_n$ lejáratkor egy képzeletbeli $N$ összegű tőkecserét. A két csere kiejti egymást, így a swap nem változik. Most viszont mindkét láb kötvény:

• a fix láb egy $N$ névértékű, időszakonként $s\,\tau_i$ kamatszelvényt fizető fix kamatozású kötvény;
• a változó láb egy változó kamatozású kötvény (FRN), amelynek szelvénye mindig az adott időszak változó kamata.

A fix kapó swap tehát hosszú pozíció a fix kamatozású kötvényben és rövid pozíció az FRN-ben, a fix fizető swap ennek fordítottja. Értéke két kötvényár különbsége:

A változó kamatozású kötvény a kamatfixálás napján

Tegyük fel, hogy az $L_i$ változó kamat a $t_{i-1}$ és $t_i$ közötti hitelezés piaci kamata, ugyanaz, amelyből a diszkontfaktorok épülnek. Ekkor az FRN minden kamatfixálási napon pontosan a névértékét éri. Haladjunk visszafelé a végétől:

1. Az utolsó, $t_{n-1}$ fixálási napon a kötvény $t_n$-kor $N(1 + L_n\tau_n)$ összeget fog fizetni. Egy időszakot ugyanazzal az $L_n$ kamattal diszkontálva $N(1 + L_n\tau_n)/(1 + L_n\tau_n) = N$ adódik.
2. A $t_{n-2}$ napon a kötvény $t_{n-1}$-kor $N L_{n-1}\tau_{n-1}$ szelvényt fizet, és utána $N$-et ér. Ez együtt $N(1 + L_{n-1}\tau_{n-1})$, ami ismét $N$-re diszkontálódik.
3. Az érvelést mai napig visszafelé ismételve $B_{\text{vált}} = N$ adódik $t_0 = 0$-kor.

A szemléletes ok: a szelvény mindig az aktuális piaci kamatot fizeti, ezért a kötvény fixáláskor sosem tér el a névértéktől. Két fixálási nap között is csak kicsit mozog, mert a következő szelvény már rögzített.

A fix láb és a par swapkamat

Jelölje $P(0,t)$ a diszkontfaktort, a $t$-kor fizetett 1 mai árát. A fix kamatozású kötvény ismert pénzáramokból áll, így

Az $A = \sum_i \tau_i P(0,t_i)$ összeg az annuitásfaktor: az évi 1 egység mai értéke a kifizetési napokon. Új swapot olyan fix kamattal kötnek, amely mellett mindkét félnek nulla az értéke, vagyis $B_{\text{fix}} = B_{\text{vált}} = N$. $N$-nel osztva és erre a kamatra rendezve kapjuk egy $n$ időszakos swap par swapkamatát, $S_n$-et:

A par swapkamat egy névértéken forgó kötvény szelvénye: $S_n = (1 - P(0,t_n))/A$, ahol $A = \sum_i \tau_i P(0,t_i)$ az annuitásfaktor.

Hároméves számpélda

Legyenek a kifizetések évesek, a diszkontfaktorok pedig $P(0,1) = 0{,}9589$, $P(0,2) = 0{,}9160$ és $P(0,3) = 0{,}8730$. Ezek egy emelkedő görbéből származnak, nagyjából 4,28%, 4,49% és 4,63%-os éves kamatozású zérókamatokkal, a $P(0,t) = (1 + r(t))^{-t}$ összefüggés szerint; ez az alábbi ábra alapgörbéje. Az annuitásfaktor $A = 0{,}9589 + 0{,}9160 + 0{,}8730 = 2{,}7479$, és

Ellenőrzés: egy 100 névértékre három évig évi 4,62-t fizető kötvény értéke $4{,}62 \cdot 2{,}7479 + 100 \cdot 0{,}8730 \approx 100{,}0$, vagyis névértéken forog, ahogy kell.

A diszkontfaktorokból adódó egyéves forward kamatok $f_i = P(0,t_{i-1})/P(0,t_i) - 1$: nagyjából 4,28%, 4,69% és 4,92%. A par swapkamat ezek között van. Ez a forward kamatok diszkontfaktorokkal súlyozott átlaga, $S_n = \sum_i \tau_i P(0,t_i)\,f_i / A$, ami az $1 - P(0,t_n) = \sum_i \big(P(0,t_{i-1}) - P(0,t_i)\big)$ azonosságból következik.

Egy meglévő swap értéke

Megkötése után a kamatok elmozdulnak, és a swap értéke már nem nulla. Tegyük fel, hogy közvetlenül a fenti ügylet után az egész görbe fél százalékponttal felfelé tolódik, és a diszkontfaktorok $0{,}9543$, $0{,}9073$ és $0{,}8606$ lesznek. Az új annuitásfaktor $A' = 2{,}7222$, az új par kamat $S_3' = 0{,}1394/2{,}7222 \approx 5{,}12\%$.

Nézzük azt az $N = 10\,000\,000$ névleges összegű fix fizető swapot, amely a szerződéses $s = S_3 \approx 4{,}62\%$-os kamatot fizeti. A változó láb továbbra is $N$-et ér, a fix láb értéke viszont csökkent. Az ügylet értéke

A fix fizető nyer, mert 4,62% fizetését rögzítette, miközben ugyanerre a swapra most 5,12% a piaci kamat. A második alakot érdemes megjegyezni: egy meglévő swap értéke a mostani és a szerződéses swapkamat különbsége, az annuitásfaktorral szorozva.

Ugyanez a képlet adja az ügylet érzékenységét. Egy bázispontos (0,01%-os) swapkamat-változás nagyjából $N A \times 0{,}0001$-gyel változtatja az értéket. Ez a swap DV01-e, itt $10\,000\,000 \times 2{,}7222 \times 0{,}0001 \approx 2722$. Ugyanazt a szerepet tölti be, mint a duráció a „Duráció és konvexitás” című leckében.

Az ábra ennek a swapnak a pénzáramait egy időtengelyen mutatja. A fix fizető minden évben megkapja a változó kifizetést, egy $N f_i$ hosszú felfelé mutató nyilat (a várható értékét, a forward kamatból), és kifizeti az $N s$ fix összeget, egy lefelé mutató nyilat. Minden nyíl teli része a jelenértéke, a halvány maradék a diszkont. Vigye az egeret egy kifizetésre, fókuszálja vagy koppintson rá, és látja az összegét, a $P(0,t_i)$ diszkontfaktort és a szorzást, amely a jelenértékét adja. A mai görbén a két láb ugyanannyit ér, így a swap értéke 0. Ezután állítsa a görbét +50 bázispontra: csak a változó nyilak nőnek, mert a fix kamatot 4,62%-on rögzítették, és a fix fizető számára az érték nagyjából 135 800 lesz, a fent kiszámolt szám. A 135 900-tól való kis eltérés a swapkamatok kerekítéséből adódik.

Most essen a görbe: a teljes zérókupon-görbe fél százalékponttal lejjebb kerül, a diszkontfaktorok pedig $0{,}9635$, $0{,}9248$ és $0{,}8856$ lesznek.

Az esés okozta veszteség kicsit nagyobb, mint az ugyanakkora emelkedés okozta nyereség, mert alacsonyabb kamatok mellett nagyobb az annuitásfaktor.

A swapok felhasználása

• Az adósság típusának megváltoztatása. Egy vállalat, amely fix kamatozású kötvényt bocsátott ki, és fix kapó swapot köt, fixet kap és változót fizet, így összességében változó kamatot fizet. A fix fizető swap a változó kamatozású adósságot alakítja fixszé.
• Kamatkockázat fedezése. Egy bank, amelynek eszközei hosszú, fix kamatozású hitelek, a swapon fixet fizethet, így a kamatemelkedés már nem árt neki.
• Kamatvárakozás kifejezése. A fix fizető swap emelkedő kamatoknál nyer, a fix kapó csökkenőknél, kötvények vétele vagy eladása nélkül.

Par swapkamatok és a zérókupon-görbe

Az ábra az $r(t) = \text{szint} + \text{meredekség}\,(1 - e^{-t/3})$ sima zérókupon-görbét használja éves kamatozással, így $P(0,t) = (1 + r(t))^{-t}$, ugyanazzal a konvencióval, mint az éves fix kifizetések. A szint a rövid vég kamata ($r(0) = \text{level}$), a meredekség pedig azt adja meg, mennyivel van fölötte a hosszú vég: $t$ növekedésével $r(t)$ a szint + meredekség értékhez közelít. Minden $n$ lejáratra 1 és 10 év között megrajzolja az $r(n)$ zérókamatot és az $S_n$ par swapkamatot. A kijelzők az ötéves par swapkamatot, az ötéves annuitásfaktort, egy ötéves swap 1 000 000 névleges összegre vett DV01-ét és a tízéves par swapkamatot mutatják. Alapbeállításnál (4%-os szint, +1 százalékpontos meredekség) az ötéves swapkamat nagyjából 4,79%, szemben a 4,81%-os ötéves zérókamattal, az annuitásfaktor 4,3695, a DV01 körülbelül 437, a tízéves swapkamat pedig 4,94%, szemben a 4,96%-os zérókamattal. Állítsuk a meredekséget nullára: lapos görbénél a par swapkamat minden lejáraton egyenlő a zérókamattal. Emelkedő görbénél a swapkamat kicsivel az azonos lejáratú zérókamat alatt van, mert a korai, alacsonyabb forward kamatokat nagyobb súllyal veszi; a fenti példában $S_3 \approx 4{,}62\%$, míg a hároméves zérókamat 4,63%. Negatív meredekségnél a swapkamat kicsivel fölötte van.

Összefoglalás

• A swap $N s\tau_i$ fix fizetéseket cserél $N L_i\tau_i$ változó fizetésekre egy soha ki nem cserélt névleges összegen.
• A fix kapó swap hosszú pozíció egy fix kamatozású kötvényben és rövid egy változó kamatozásúban; ez utóbbi minden fixálási napon névértéket ér.
• A par swapkamat $S_n = (1 - P(0,t_n))/A$, ahol $A = \sum_i \tau_i P(0,t_i)$ az annuitásfaktor.
• Egy meglévő, $s$-et fizető fix fizető swap értéke $N(S_n' - s)A'$, DV01-e nagyjából $N A \times 0{,}0001$.