Véletlen bolyongás és Brown-mozgás

A „Hozamok és volatilitás” című lecke megmutatta, hogy független hozamok esetén a teljes loghozam szórása $\sigma\sqrt{T}$-ként nő. Ez a lecke a szabály mögötti véletlen folyamatot a lehető legegyszerűbb építőelemből, egy szabályos pénzérméből rakja össze, majd egy határátmenettel eljut a Brown-mozgáshoz. A későbbi folytonos idejű modellekben minden véletlenség ebből származik.

Pénzfeldobásos bolyongás

Dobjunk fel ismételten egy szabályos érmét. Fej esetén lépjünk egy egységet felfelé, írás esetén egyet lefelé. A $k$-adik lépés legyen $X_k$, tehát $X_k = +1$ vagy $X_k = -1$, mindkettő $\tfrac12$ valószínűséggel, és a dobások egymástól függetlenek. A nulláról induló pozíció $n$ dobás után

Ez a szimmetrikus véletlen bolyongás. Képzelj el valakit egy hosszú folyosón, aki másodpercenként az érme szerint egyet előre vagy egyet hátra lép. Senki sem tudja megmondani, hol lesz 100 lépés után, de a valószínű helyzetek szóródása pontosan kiszámolható.

A bolyongás várható értéke és varianciája

Minden lépés várható értéke nulla, varianciája egy:

A várható értékek mindig összeadódnak, a varianciák pedig akkor, ha a tagok függetlenek, és itt azok. Így

A variancia a lépésszámmal lineárisan nő, a szórás ennek gyökével. 100 dobás után a kiindulóponttól mért jellemző távolság $\sqrt{100} = 10$ egység, nem 100. 10000 dobás után 100. A lépések részben kioltják egymást, ezért nő a szóródás sokkal lassabban, mint a lépések száma.

A lépések skálázása

Folytonosan mozgó árfolyam leírásához egy rögzített időintervallumon belül sok kis lépésre van szükség, nem másodpercenkénti egységlépésekre. Rögzítsük a $[0, 1]$ intervallumot, osszuk fel $n$ darab $\Delta t = 1/n$ hosszú lépésre, és legyen minden lépés mérete $\pm a$, ahol $a$-t még meg kell választani. $k$ lépés után az idő $t = k\,\Delta t$, a pozíció varianciája pedig $k a^2 = (t/\Delta t)\,a^2$.

Növeljük most $n$-et, vagyis csökkentsük $\Delta t$-t. Három eset van:

• Ha $a = 1$, a $t/\Delta t$ variancia minden határon túl nő. A bolyongás elszáll.
• Ha $a = \Delta t$, a $t\,\Delta t$ variancia nullához tart. A bolyongás vízszintes egyenessé laposodik.
• Ha $a = \sqrt{\Delta t}$, a variancia minden $n$-re pontosan $t$. Csak ez a választás ad nem triviális határértéket.

A lépésméretnek tehát az időlépés négyzetgyökével kell arányosnak lennie:

Példa: $n = 100$ lépésnél a $[0,1]$ intervallumon minden lépés $\pm\sqrt{0{,}01} = \pm 0{,}1$. A $t = 0{,}25$ időpontig 25 lépés történt, így a variancia $25 \times 0{,}01 = 0{,}25$, a szórás $0{,}5$. A $t = 1$ időpontban a szórás 1.

Az ábra a skálázott bolyongás hat mintapályáját rajzolja ki a $[0,1]$ intervallumon, a $\pm\sqrt{t}$ és $\pm 2\sqrt{t}$ görbékkel együtt. Válts az $n = 10$, $100$ és $1000$ lépés között, és nyomd meg néhányszor az „Új pályák” gombot. A pályák finomabbak lesznek, a burkológörbe viszont ugyanaz marad, és a 2000 szimulált pálya végpontjainak varianciája $n$-től függetlenül 1 közelében van.

Brown-mozgás

Ha $n \to \infty$, minden $W_t$ egyre több kicsi, független lépés összege, ezért a centrális határeloszlás-tétel szerint eloszlása normálissá válik. A határfolyamat a Brown-mozgás (más néven Wiener-folyamat), jele $W_t$. Négy tulajdonság határozza meg:

• $W_0 = 0$.
• $s < t$ esetén a $W_t - W_s$ növekmény normális eloszlású, várható értéke 0, varianciája $t - s$.
• A nem átfedő intervallumokon vett növekmények függetlenek.
• A $t \mapsto W_t$ pálya folytonos.

A második tulajdonságba $s = 0$-t írva

Példa: $W_1$ standard normális, így kb. 68% valószínűséggel esik $-1$ és $1$ közé. A $W_1 - W_{0{,}5}$ növekmény varianciája $0{,}5$, függetlenül attól, mit csinált a pálya $t = 0{,}5$ előtt.

Brown-mozgás: $W_0 = 0$, független növekmények, $W_t - W_s \sim N(0, t-s)$, folytonos pályák. Speciálisan $\operatorname{Var}(W_t) = t$.

Folytonos, de recés pályák

A Brown-pályákban nincs ugrás, mégis rendkívül egyenetlenek. Egy rövid $\Delta t$ intervallumon a jellemző elmozdulás $\sqrt{\Delta t}$, így a jellemző meredekség

Ha belenagyítunk, a pálya nem simul ki, ahogy egy közönséges sima görbe tenné, hanem minden léptékben újabb hullámzás jelenik meg. A pályának egyetlen pontban sincs jól definiált meredeksége. Ezért nem alkalmazható közvetlenül a szokásos analízis a Brown-mozgásra, és ezért lesz szükség a későbbi leckékben egy korrekciós tagra.

Kapcsolat a négyzetgyökös időszabállyal

Kössük össze ezt a „Hozamok és volatilitás” leckével. Modellezzük a $[0, T]$ alatti loghozamot egy egyenes vonalú drift és egy skálázott Brown-mozgás összegeként:

Mivel $W_T \sim N(0, T)$, a loghozam normális eloszlású $\mu T$ várható értékkel és $\sigma\sqrt{T}$ szórással, pontosan úgy, mint a „Hozamok és volatilitás” lecke első modelljében. A szabályban szereplő $\sqrt{T}$ nem más, mint a bolyongás $\sqrt{t}$ burkológörbéje az ábrán.

Végpontok és a haranggörbe

Egyetlen bolyongás keveset árul el, sok bolyongás viszont kirajzolja az eloszlást. Az ábrán minden bolyongó $n$ darab $\pm 1$-es lépést tesz, majd a végpontjának megfelelő oszlopba esik. Nyomd meg a Lejátszás gombot, vagy adj hozzá bolyongókat kézzel, és figyeld, ahogy a hisztogram kitölti az $n$ varianciájú normális görbét. A mintavariancia bármely $n$ mellett $n$ közelébe áll be, és $n$ duplázásakor a szóródás $\sqrt{2}$-szeresére nő, nem kétszeresére.

Összefoglalás

• $n$ független $\pm 1$ lépésből álló pénzfeldobásos bolyongás várható értéke 0, varianciája $n$, így a szóródása $\sqrt{n}$-ként nő.
• Értelmes folytonos idejű határértékhez a $\Delta t$ hosszú lépések mérete $\pm\sqrt{\Delta t}$ kell legyen; ekkor $\operatorname{Var}(W_t) = t$.
• A határfolyamat a Brown-mozgás: $W_0 = 0$, független, normális növekmények az eltelt idővel egyenlő varianciával, folytonos pályák.
• A Brown-pályák folytonosak, de sehol sincs meredekségük.
• A $\mu T + \sigma W_T$ loghozam-modell visszaadja a négyzetgyökös időszabályt.