Útmutató

A kockán, $\Omega = \{1, \ldots, 6\}$, hány eseményt tartalmaz az $\{1,2\}, \{3,4\}, \{5,6\}$ partíció által generált σ-algebra?

A kockán melyik σ-algebrára mérhető az $X(\omega) = \mathbf{1}\{\omega \ge 5\}$ változó?

A szabályos kockán legyen $X(\omega) = \omega$, és $\mathcal{G}$-t generálja az $\{1,2,3\}, \{4,5,6\}$ partíció. Mennyi $\operatorname{Var}(\mathbb{E}[X \mid \mathcal{G}])$?

Három szabályos pénzfeldobásnál, $\mathcal{F}_k = \sigma(\xi_1, \ldots, \xi_k)$ mellett hány eseményt tartalmaz $\mathcal{F}_2$?

Legyen $W_k$ egy egyszerű véletlen bolyongás, amelyet $k = 0, 1, \ldots, 10$ időpontokban figyelünk meg a természetes filtrációjával. Az alábbi véletlen időpontok közül melyik megállási idő?

Három szabályos pénzfeldobás; $\tau$ az első fej időpontja ($\infty$, ha nincs fej). Mennyi $\mathbb{P}(\tau \le 2)$?

Dobj fel egy szabályos érmét háromszor, és legyen $Y$ a fejek száma. Az első dobás fej. Mennyi $\mathbb{E}[Y \mid \mathcal{F}_1]$?

Az alábbi folyamatok közül melyik martingál?

A korlátlan duplázó stratégia az első nyerésnél áll meg, ami 1 valószínűséggel bekövetkezik, és ekkor pontosan 1-et nyert. Miért nem mond ez ellent az opcionális megállítás tételének?

A $\operatorname{Cov}(W_s, W_t) = \min(s,t)$ képlettel számítsd ki $\operatorname{Cov}(W_2,\, W_3 - W_1)$ értékét.

Az alábbi folyamatok közül melyik standard Brown-mozgás?

Osszuk a $[0, 1]$ intervallumot $n = 100$ egyenlő lépésre. Mennyi $\operatorname{Var}\big(\sum_i (\Delta W_i)^2\big)$?

Mennyi $\mathbb{P}(M_4 \ge 1)$, vagyis annak valószínűsége, hogy a Brown-mozgás a 4-es időpontig eléri az 1-es szintet?

$a > 0$ esetén melyik állítás igaz a $\tau_a = \inf\{t \ge 0 : W_t = a\}$ első elérési időre?

Számítsd ki $\mathbb{P}(M_1 \ge 1,\ W_1 \le 0)$ értékét.

Mennyi egy $[0, 1]$-en értelmezett standard Brown-híd $\operatorname{Var}(B_{1/2})$ szórásnégyzete a felezőpontban?

Egy $[0, 1]$-en értelmezett standard Brown-hídra számítsd ki $\operatorname{Cov}(B_{1/4}, B_{3/4})$-et.

Egy standard Brown-híd $t = 0$-ban és $t = 1$-ben is 0-ra van rögzítve. Mennyi annak valószínűsége, hogy közben eléri az $a = 1$ szintet?

Számítsd ki az Itô-izometriával $\operatorname{Var}\big(\int_0^2 W_s\,dW_s\big)$ értékét! (Az integrál várható értéke nulla.)

Egy Brown-pálya végpontja $W_1 = 1{,}3$. Mennyi az $\int_0^1 W_s\,dW_s$ Itô-integrál értéke ezen a pályán?

Miért az Itô-féle (bal végponti) integrállal modellezzük a kereskedési nyereséget a Stratonovich-féle (felezőponti) helyett?

Egy $[0, 2]$ intervallumon futó Brown-pályát egyre finomabb lépésekre bontunk. Mihez tart a növekmények négyzetösszege, $\sum (\Delta W)^2$?

Egy részvény geometriai Brown-mozgást követ $\mu = 12\%$ és $\sigma = 40\%$ paraméterekkel. Évente mekkora ütemben sodródik a logára? A választ százalékban add meg.

Az Ornstein–Uhlenbeck-folyamat a $dX_s = -\kappa X_s\,ds + \sigma\,dW_s$ egyenlet megoldása. Mi a generátora?

Oldd meg a $\partial_\tau u = \tfrac12\sigma^2\,\partial_{xx} u$ egyenletet $u(0, x) = x^2$, $\sigma = 0{,}5$ mellett! Mennyi $u(\tau, x)$, ha $\tau = 2$ és $x = 2$?

A Black–Scholes-modellben $S = 100$, $r = 5\%$, $\sigma = 20\%$ mellett egy call ára $C = 10{,}4506$, $\Delta = 0{,}6368$ és $\Gamma = 0{,}018762$. Határozd meg a Black–Scholes-egyenletből $\partial C/\partial t$ értékét (évre vetítve)!

Egy egylépéses fában a felfelé lépés valós valószínűsége $p = 0{,}5$, kockázatsemleges valószínűsége $q = 0{,}4$. Mennyi a $Z_u = d\mathbb{Q}/d\mathbb{P}$ sűrűség a felső állapotban?

Egy részvényre $\mu = 12\%$ és $\sigma = 25\%$, a kockázatmentes kamatláb $r = 4\%$. Mekkora a Girsanov-tételben használt $\theta$, a kockázat piaci ára?

$N = 10\,000$ húzással egy árbecslés standard hibája $0{,}20$. Hány húzás kell a $0{,}05$-ös standard hibához?

Egy Monte Carlo-becslés $10{,}40$, a standard hibája $0{,}15$. Mennyi a 95%-os konfidenciaintervallum felső végpontja?

Egy Euler-lépés geometriai Brown-mozgásra: $S_0 = 100$, $\mu = 8\%$, $\sigma = 40\%$, $\Delta t = 0{,}25$, a húzás $Z = -0{,}5$. Mennyi $S_1$?

Az Euler-lépések számát 16-ról 256-ra növeled. Nagyjából mi történik az erős hibával?

Egy kamatláb $\kappa = 2$ (évente) paraméterű Ornstein–Uhlenbeck-folyamatot követ. Hány év alatt feleződik meg a $\theta$-tól való várható eltérés?

Kétszeresére növeljük a visszahúzás $\kappa$ sebességét, $\sigma$ változatlan. Mi történik a stacionárius eloszlás szórásával?