Duráció és konvexitás

A „Kötvényárak és hozamok” leckében a kötvény ára a hozam csökkenő, konvex függvénye volt. Ez a lecke számokkal írja le ezt a görbét: a duráció a meredekségét, a konvexitás a görbületét méri. Együtt megmondják, mennyit változik a kötvény ára, ha a hozamok elmozdulnak, újraárazás nélkül. A jelölések változatlanok: $F = 100$ névérték, $c$ rátájú éves kuponok, $T$ lejárat, éves kamatozású $y$ lejáratig számított hozam, $P$ ár.

Kamatkockázat

A kötvény pénzáramlásai rögzítettek, az ára viszont nem: ha a piaci hozamok emelkednek, ugyanazokat a pénzáramlásokat erősebben diszkontáljuk, és az ár esik. Ez a kamatkockázat. Két kötvény nagyon eltérően reagálhat ugyanarra a hozamváltozásra; egy 30 éves kötvény sokkal többet veszít, mint egy egyéves kincstárjegy. Egyetlen számot keresünk, amely ezt az érzékenységet megragadja.

Macaulay-duráció

Jelölje $CF_t$ a $t$-edik év pénzáramlását (tehát $t < T$ esetén $CF_t = cF$, és $CF_T = cF + F$). Minden pénzáramlás $PV_t = CF_t/(1+y)^t$ jelenértékkel járul hozzá az árhoz, és ezek összege $P$. A Macaulay-duráció a kifizetési időpontok átlaga, e jelenértékekkel súlyozva:

Gondolj egy mérleghintára: a gerenda $t$ távolságú pontjára $PV_t$ súlyt teszünk; $D$ az a pont, ahol a gerenda egyensúlyban van. Kuponos kötvénynél a kuponok $T$ elé húzzák az egyensúlyi pontot, így $D < T$. A zérókuponos kötvénynek egyetlen pénzáramlása van, minden súly $T$-ben ül, ezért durációja megegyezik a lejáratával: $D = T$.

Módosított duráció

Deriváljuk az árat a hozam szerint. Az $(1+y)^{-t}$ tag deriváltja $-t\,(1+y)^{-t-1}$, így

Az elöl álló szorzó a módosított duráció:

Kis $\Delta y$ hozamváltozásra az elsőrendű Taylor-közelítés a relatív árváltozást adja:

Egy $D_{mod} = 7{,}7$ módosított durációjú kötvény értéke kb. 7,7%-kal csökken, ha a hozama egy százalékponttal nő. Geometriailag ez a közelítés az ár–hozam görbét a mai hozamnál húzott érintőjével helyettesíti, pontosan úgy, ahogy a „Delta és fedezés” leckében a delta az opció értékgörbéjét helyettesítette az érintőjével.

A $D_{mod} = D/(1+y)$ módosított duráció az egységnyi hozamváltozásra jutó százalékos árváltozás: $\Delta P/P \approx -D_{mod}\,\Delta y$.

Pénzben mért duráció

A portfóliókezelőknek gyakran nem százalékos, hanem pénzben mért változás kell. A pénzben mért duráció (dollar duration) $D_{mod}\,P$, az egységnyi hozamváltozásra jutó árváltozás; 10 000-rel osztva a bázispontonkénti (0,01%) változást adja, ennek szokásos neve DV01. A pénzben mért durációk pozíciók között összeadódnak, így ezekkel összesíthető és fedezhető egy kötvényportfólió kamatkockázata.

Konvexitás

Az érintő nem veszi figyelembe a görbe hajlását. Még egyszer deriválva

a konvexitás pedig ez a második derivált egységnyi árra vetítve:

A másodrendű Taylor-közelítés ekkor

Ez a delta-fedezés $\tfrac{1}{2}\Gamma(dS)^2$ gammatagjának megfelelője. Mivel $C > 0$ és $(\Delta y)^2 \ge 0$, a korrekció mindig pozitív: ha a hozamok esnek, a kötvény többet nyer, mint amit a duráció jósol, ha emelkednek, kevesebbet veszít. Két azonos árú és durációjú kötvény közül a tulajdonos a nagyobb konvexitásút választja, és a piacon ezt a többletvédelmet általában valamivel alacsonyabb hozammal fizetik meg. A konvexitás nagyjából a lejárat négyzetével nő, ezért hosszú kötvényeknél és nagy hozammozgásoknál számít igazán.

Számpélda

Legyen $c = 5\%$, $T = 10$, $y_0 = 5\%$. A kötvény névértéken forog, $P_0 = 100$. A súlyozott kifizetési időket összegezve

A pénzben mért duráció kb. 772, így egy bázispont kb. 0,077-tel mozdítja az árat. Most toljuk el a hozamot egy százalékponttal:

• $\Delta y = +1\%$: a valódi ár 92,64, a változás $-7{,}36$. A duráció egyedül $-7{,}72$-t jósol; konvexitással $100\,(-0{,}07722 + \tfrac{1}{2}\cdot 75{,}0 \cdot 0{,}0001) \approx -7{,}35$.
• $\Delta y = -1\%$: a valódi ár 108,11, a változás $+8{,}11$. A duráció egyedül $+7{,}72$-t jósol; konvexitással $+8{,}10$.

Az érintő túlbecsüli a veszteséget és alulbecsüli a nyereséget, kb. 0,36-tal, illetve 0,39-cel; a $\tfrac{1}{2}C(\Delta y)^2 P_0 \approx 0{,}375$ konvexitási tag szinte a teljes különbséget eltünteti. Összehasonlításképp egy 10 éves zérókuponos kötvényre 5%-on $D = 10$ és $D_{mod} \approx 9{,}52$: mivel nincs kupon, amely előrébb húzná a súlypontot, érzékenyebb a kuponos kötvénynél.

Az ábra a valódi árat mutatja $y_0$ körül ±4 százalékponton belüli hozamokra, a $P_0(1 - D_{mod}\Delta y)$ durációs (érintő) és a $P_0(1 - D_{mod}\Delta y + \tfrac{1}{2}C\Delta y^2)$ durációs-konvexitási közelítéssel együtt. A kijelzők $D$-t, $D_{mod}$-ot, $C$-t, valamint $\Delta y = \pm 1\%$ esetén a valódi árváltozást és mellette a két közelítést mutatják. Figyeld meg, hogy az érintő mindig a valódi görbe alatt marad. Növeld $T$-t: a duráció és a konvexitás nő, az érintő gyorsabban távolodik a görbétől; csökkentsd $c$-t 0 felé, és a Macaulay-duráció $T$-hez közelít.

A duráció mint egyensúlyi pont

Tegyük minden pénzáramot egy mérlegrúdra a kifizetés időpontjába, a jelenértékével megegyező súllyal. A Macaulay-duráció az a pont, ahol a rúd egyensúlyban van, hiszen ez a jelenértékkel súlyozott átlagos idő. Az ábrán emeld a hozamot, és figyeld, ahogy az alátámasztási pont a jelen felé csúszik: a távoli kifizetéseket erősebben diszkontáljuk, így kisebb a súlyuk. Állítsd a kupont nullára: az alátámasztás pontosan a lejáratnál van, ahogy minden zérókuponos kötvénynél.

Összefoglalás

• A $D$ Macaulay-duráció a kötvény pénzáramlásainak jelenértékkel súlyozott átlagos időpontja; zérókuponos kötvényre a lejárattal egyenlő.
• A $D_{mod} = D/(1+y)$ módosított duráció az elsőrendű árváltozást adja, $\Delta P/P \approx -D_{mod}\Delta y$: ez az ár–hozam görbe érintője.
• A $C = P^{-1}\,d^2P/dy^2$ konvexitás hozzáadja a $\tfrac{1}{2}C(\Delta y)^2$ másodrendű tagot, amely mindig a tulajdonosnak kedvez.
• A $D_{mod}P$ pénzben mért duráció az egységnyi hozamváltozásra jutó kockázatot méri, és portfólión belül összeadódik.

A duráció minden pénzáramlást ugyanazzal a hozammal diszkontál, ezért párhuzamos eltolódást mér. A következő lecke minden lejáratnak saját kamatlábat ad.