Immunizáció és durációillesztés

A „Duráció és konvexitás” című lecke azt mérte, mennyit mozdul egyetlen kötvény ára, ha megváltozik a hozama. Ez a lecke ebből a mérésből fedezést készít. Aki egy rögzített napon rögzített összeggel tartozik, olyan kötvényeket választhat, amelyek értéke együtt mozog a tartozás értékével, így a kamatlábak változása egyik oldalt sem sújtja jobban a másiknál. A jelölés ugyanaz, mint a „Kötvényárak és hozamok” című leckében: $F = 100$ névérték, éves szelvények, éves kamatozású hozamok, $D$ Macaulay-duráció és $C$ konvexitás. A hozamgörbe végig lapos, és párhuzamosan mozdul el.

Egy rögzített kötelezettség

Egy nyugdíjpénztárnak pontosan 7 év múlva $L = 1\,000\,000$ összeget kell kifizetnie. Lapos, $y = 5\%$-os hozam mellett ennek a kötelezettségnek a jelenértéke

A kötelezettség egyetlen, szelvény nélküli kifizetés, így a durációja a lejárata, $D_L = 7$, a konvexitása pedig $C_L = 7 \cdot 8/1{,}05^2 \approx 50{,}79$. A pénztár ma pontosan $PV_L$ értékű kötvényt tart. A kötvények értéke és $PV_L$ különbsége a többlet; a cél az, hogy ez kamatmozgáskor se legyen negatív.

Árfolyamkockázat és újrabefektetési kockázat

A hozamok emelkedése két dolgot tesz egy $H$ évig tartott kötvényportfólióval. A kötvények piaci értéke azonnal csökken (árfolyamkockázat), viszont minden $H$ előtt kapott szelvényt a magasabb kamaton lehet újra befektetni (az újrabefektetési kockázat itt a tulajdonos javára dolgozik). A hozamok csökkenése fordított hatású. A ma $P(y)$ értékű portfólió értéke a $H$ időpontban $V_H = P(y)\,(1+y)^{H}$, és ennek hozamérzékenysége

ahol felhasználtuk az előző lecke $P'/P = -D/(1+y)$ összefüggését. Ha a tartási idő megegyezik a durációval, $H = D$, a két hatás elsőrendben kioltja egymást: egy kis párhuzamos eltolódás nem változtat a horizontbeli értéken.

A jelenérték és a duráció illesztése

Ebből adódik az immunizáció receptje. Olyan eszközöket kell választani, amelyekre

ahol $D_A$ a kötvények durációinak értékkel súlyozott átlaga. Két kötvénnyel, egy $D_S$ durációjú rövid és egy $D_{Lg}$ durációjú hosszú kötvénnyel, a pénz $w$ hányadát a rövid, $1 - w$ hányadát a hosszú kötvénybe tesszük. A $w\,D_S + (1-w)\,D_{Lg} = D_L$ feltételből

Immunizáció: a kötelezettséggel azonos jelenértékű és azonos durációjú eszközöket kell tartani. Ekkor egy kis párhuzamos hozameltolódás mindkét értéket ugyanannyival változtatja.

Számpélda

Vegyünk egy kétéves és egy tizenkét éves, egyaránt 5%-os szelvényű kötvényt; $y = 5\%$ mellett mindkettő névértéken forog. A durációk $D_S \approx 1{,}952$ és $D_{Lg} \approx 9{,}306$, így

A pénztár 222 888 értékben vesz a kétéves és 487 793 értékben a tizenkét éves kötvényből, összesen 710 681 értékben, és az eszközök durációja pontosan 7. Most toljuk el az összes hozamot ugyanannyival, és árazzunk újra mindent:

• $\Delta y = -1\%$: az eszközök és a kötelezettség is nagyjából 49 200-zal nő; a többlet $+747$.
• $\Delta y = +1\%$: mindkettő nagyjából 45 600-zal csökken; a többlet $+642$.
• $\Delta y = \pm 3\%$: a többlet $+7\,861$, illetve $+4\,985$.

Vessük össze a két fedezetlen változattal. Ha minden a kétéves kötvényben van, 1%-os hozamcsökkenés 35 832-es hiányt okoz, mert a kötvény alig drágul, a kötelezettség viszont erősen nő. Ha minden a tizenkét éves kötvényben van, 1%-os emelkedés után 13 958 a hiány.

Ugyanez a két kötvény más kötelezettséget is immunizálhat. Legyen 500 000 esedékes 5 év múlva, továbbra is 5%-os lapos hozamgörbe mellett.

Rövidebb kötelezettséghez több rövid kötvény kell: a pénz 59%-a a korábbi 31% helyett.

Miért marad pozitív a többlet

A durációillesztés eltünteti a többlet elsőrendű tagját. A másodrendű tag a konvexitások különbségéből adódik:

Egy rövid és egy hosszú kötvényből álló súlyzóportfólió a pénzáramait a kötelezettség időpontja köré teríti, ezért nagyobb a konvexitása, mint egyetlen hetedik évi kifizetésé: itt $C_A \approx 70{,}27$, szemben a $C_L \approx 50{,}79$-cel. A képlet 1%-os elmozdulásra mindkét irányban nagyjából 692-es többletet ad, közel a pontos 747-hez és 642-höz. Amíg $C_A \ge C_L$, minden kis párhuzamos eltolódás nemnegatív többletet hagy. A védelem azonban csak ennyit ér: ha a rövid és a hosszú hozamok eltérően mozognak, a súlyzó veszíthet.

Újrasúlyozás

Az immunizált pozíció magától nem marad immunizált. Ha a hozamok nem változnak, minden duráció évente egy évvel rövidül, és az illesztés megmarad. Ha viszont a hozamok elmozdulnak, a két kötvény durációja eltérő mértékben változik, a kötelezettségé pedig nem: 1%-os emelkedés után az eszközök durációja 6,796, 1%-os csökkenés után 7,205, miközben $D_L = 7$ mindkét esetben. A pénztárnak újra ki kell számolnia $w$-t, és vissza kell kereskednie a célhoz; a gyakorlatban ezt időszakonként teszi, nem folyamatosan.

Az ábrán a portfólió a kezdetben rögzített névértékeket tartja. Húzd a sokk jelölőjét a sávon, vagy használd a nyílbillentyűket, és told el az összes hozamot legfeljebb 300 bázisponttal bármelyik irányba. A két sáv az eszközök és a kötelezettség jelenértékét mutatja, a kijelzők a többletet és a két durációt. Alatta a kis grafikon a többletet ábrázolja a sokk függvényében; a már bejárt szakaszok kiemelve látszanak. Durációillesztett portfóliónál a görbe lapos U alakú, és sosem megy nulla alá. Válts a „Csak a rövid kötvény” vagy a „Csak a hosszú kötvény” beállításra, és ugyanaz a húzás az egyik oldalon hiányt nyit.

Összefoglalás

• Egy rögzített kötelezettség szelvény nélküli kifizetés: a durációja a lejárata.
• A durációval egyenlő horizonton az árfolyamkockázat és az újrabefektetési kockázat elsőrendben kioltja egymást.
• Az immunizáció a jelenértéket és a durációt illeszti; két kötvénnyel a súly a $w\,D_S + (1-w)\,D_{Lg} = D_L$ egyenletből adódik.
• Ha az eszközök konvexitása legalább akkora, mint a kötelezettségé, a kis párhuzamos eltolódások nemnegatív többletet hagynak; a nem párhuzamos mozgások ellen nem véd.
• A hozamok mozgásával a durációk elcsúsznak, ezért a pozíciót újra kell súlyozni.

A következő lecke, az „Azonnali kamatok, forward kamatok és a hozamgörbe”, elhagyja a lapos görbét, és lejáratonként eltérő hozamokat enged meg; éppen ez az, ami ellen a párhuzamos eltolódásra épülő immunizáció nem véd.