Hitelkockázat: csődvalószínűség és hitelfelár

8. lecke / 81 perc

A pálya eddigi kötvényei mind pontosan azt fizették, amit ígértek. Egy vállalat azonban, szemben a saját devizájában eladósodó állammal, fizetésképtelenné válhat. Ez a lecke ezt a kockázatot egyetlen évre vetített számmal, a csődintenzitással modellezi, beárazza a csődbe menni képes zérókupon-kötvényt, és megmutatja, honnan ered a vállalati kötvények többlethozama, a hitelfelár. A „Kamat, kamatozás és diszkontálás” diszkontálására, a „Kötvényárak és hozamok” hozamaira és az „Azonnali kamatok, forward kamatok és a hozamgörbe” folytonos zérókupon-hozamaira épít, a végén pedig a hitel-nemteljesítési csereügyletet tárgyalja, amely a „Kamatcsereügyletek” szerződéseinek közeli rokona.

Csőd és a csőd időpontja

A kibocsátó csődbe megy (nem teljesít), ha elmulaszt egy esedékes fizetést. A csődöt egy véletlen csődidőponttal, $\tau$ -val írjuk le: ekkor válik a kibocsátó fizetésképtelenné. Ha $\tau > T$ , a kibocsátó $T$ -ben még fizet, és a $T$ -ben lejáró kötvényt teljes egészében visszafizeti. Ha $\tau \le T$ , a kötvényt nem fizeti vissza teljesen.

A modell három feltevésen nyugszik: a kockázatmentes $r$ kamatláb állandó és folytonos kamatozású; a csőd független a kamatlábaktól; és egyetlen paraméter, a csődintenzitás írja le, mennyire valószínű a csőd.

Csődintenzitás és túlélési valószínűség

A csődintenzitás (angolul hazard rate) $\lambda$ az egységnyi időre jutó csődvalószínűség, feltéve, hogy a kibocsátó addig nem ment csődbe. Egy rövid $dt$ időszakra

\mathbb{P}(t < \tau \le t + dt \mid \tau > t) = \lambda\,dt.

Legyen $Q(t) = \mathbb{P}(\tau > t)$ a $t$ -ig vett túlélési valószínűség. Ahhoz, hogy a kibocsátó $t + dt$ -ig fennmaradjon, $t$ -ig túl kell élnie, majd a következő $dt$ alatt sem mehet csődbe:

Q(t + dt) = Q(t)\,(1 - \lambda\,dt) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dQ}{dt} = -\lambda\,Q(t), \qquad Q(0) = 1.

Állandó $\lambda$ mellett a megoldás exponenciális, a kumulatív csődvalószínűség pedig ennek komplementere:

Q(T) = e^{-\lambda T}, \qquad \mathbb{P}(\tau \le T) = 1 - e^{-\lambda T}.

Ez ugyanaz az algebra, mint a folytonos diszkontálásnál: a túlélés $\lambda$ ütemben csökken, ahogy a diszkontfaktor $r$ ütemben. Jó kép erre egy emlékezet nélküli izzó: bármilyen régóta ég, a következő órában ugyanakkora eséllyel ég ki. Kis $\lambda T$ esetén $1 - e^{-\lambda T} \approx \lambda T$ , így a 2%-os csődintenzitás nagyjából évi 2% csődesélyt jelent.

Megtérülés és csőd esetén elszenvedett veszteség

A csőd ritkán teszi teljesen értéktelenné a kötvényt. A hitelezők a kibocsátó megmaradt vagyonából általában visszakapják követelésük egy részét. A megtérülési ráta $R$ a névérték visszakapott hányada, $1 - R$ pedig a csőd esetén elszenvedett veszteség (loss given default). Elsőbbségi, fedezetlen vállalati kötvényeknél a megtérülés gyakran 40% körül van, ezért szokásos kiinduló érték az $R = 40\%$ .

Meg kell mondanunk, mikor fizetik ki a megtérülést. Feltesszük, hogy a névérték $R$ hányadát lejáratkor fizetik: ha a kibocsátó $T$ előtt csődbe megy, a tulajdonos névértékegységenként $R$ -et kap $T$ -ben. Így a kifizetés egyetlen időpontra esik, és az ár könnyen felírható.

Csődkockázatos zérókupon-kötvény árazása

Egy 1 névértékű, $T$ -ben lejáró kockázatos zérókupon-kötvény 1-et fizet, ha $\tau > T$ , és $R$ -et, ha $\tau \le T$ . Mint minden árazási feladatban, az ár a diszkontált várható kifizetés olyan valószínűségekkel, amelyek mellett az árak konzisztensek (a „Kockázatsemleges valószínűségek” kockázatsemleges valószínűségei; erről lentebb még lesz szó). Mivel a csőd független a kamatlábaktól, az $e^{-rT}$ diszkontfaktor kiemelhető a várható értékből:

P_{\text{kock}} = e^{-rT}\Big[\,Q(T)\cdot 1 + \big(1 - Q(T)\big)\cdot R\,\Big] = e^{-rT}\Big[e^{-\lambda T} + \big(1 - e^{-\lambda T}\big)R\Big].

Két ellenőrzés: $\lambda = 0$ mellett a kötvény sosem megy csődbe, és az ár a kockázatmentes $e^{-rT}$ ; $R = 1$ mellett a csőd semmibe sem kerül, és az ár ismét $e^{-rT}$ .

Hitelfelár

A kockázatos zérókupon-kötvény folytonos hozamát pontosan úgy definiáljuk, mint az „Azonnali kamatok, forward kamatok és a hozamgörbe” leckében: $y = -\ln P_{\text{kock}}/T$ . A hitelfelár a kockázatmentes kamat feletti többlethozam:

s(T) = y - r = -\frac{1}{T}\ln\Big[e^{-\lambda T} + \big(1 - e^{-\lambda T}\big)R\Big] = -\frac{1}{T}\ln\Big[1 - (1 - R)\big(1 - e^{-\lambda T}\big)\Big].

A kockázatmentes kamat kiesett: e feltevések mellett a felár csak $\lambda$ -tól, $R$ -től és $T$ -től függ. Ha $R = 0$ , a zárójelben $e^{-\lambda T}$ áll, és a felár pontosan $\lambda$ .

A hitelháromszög

Kis $\lambda T$ esetén használjuk az $1 - e^{-\lambda T} \approx \lambda T$ és a kis $x$ -re érvényes $\ln(1 - x) \approx -x$ közelítést:

s(T) \approx -\frac{1}{T}\ln\big[1 - (1 - R)\lambda T\big] \approx \frac{(1 - R)\lambda T}{T} = \lambda\,(1 - R).

Ez a hitelháromszög (credit triangle): felár, csődintenzitás és veszteségráta, amelyek közül bármely kettő megadja a harmadikat. Szavakkal: a felár az évi várható veszteséget fizeti meg, vagyis az évi csődesély és az elveszett hányad szorzatát. A közelítés jó, ha $\lambda T$ kicsi (néhány százalék), és pontos, ha $R = 0$ ; nagy csődintenzitásnál vagy hosszú lejáratnál a pontos felár $\lambda(1 - R)$ alá esik.

Hitelháromszög: $s \approx \lambda\,(1 - R)$ . A felár a várható veszteségráta: csődintenzitás szorozva a csőd esetén elszenvedett veszteséggel.

Számpélda

Legyen $\lambda = 2\%$ , $R = 40\%$ , $r = 3\%$ és $T = 5$ év.

Kidolgozott példa

Egy ötéves kockázatos zérókupon-kötvény ára és hitelfelára

Túlélési valószínűség öt évre.
$\displaystyle Q(5) = e^{-0{,}02 \cdot 5} = e^{-0{,}1}$ 0,9048
Csődvalószínűség az öt év alatt, százalékban.
$\displaystyle 1 - Q(5)$ 9,52%
Ár névértékegységenként: túléléskor 1, csődkor $R = 0{,}4$ a kifizetés lejáratkor; a diszkonttényező $e^{-0{,}15} \approx 0{,}8607$ , a kockázatmentes ár.
$\displaystyle P_{\text{kock}} = e^{-0{,}15}\,\big[Q(5) + (1 - Q(5)) \cdot 0{,}4\big]$ 0,8116
A kockázatos zérókupon-kötvény folytonos hozama.
$\displaystyle y = -\ln P_{\text{kock}}/5$ 4,176%
Hitelfelár a 3%-os kockázatmentes kamat fölött; bázispontban körülbelül 118.
$\displaystyle s(5) = y - r$ 1,176%
A hitelháromszög, amely körülbelül 2,4 bázisponttal tér el a pontos felártól.
$\displaystyle \lambda(1 - R) = 0{,}02 \cdot 0{,}6$ 1,2%

Ha viszont $\lambda = 10\%$ , az 5 éves pontos felár nagyjából 5,39%, a háromszög pedig 6%-ot ad: $\lambda T$ növekedésével a közelítés romlik.

A felár és a lejárat

Az ábrán csúszkával állítható a $\lambda$ csődintenzitás (0–10%, alapérték 2%), az $R$ megtérülési ráta (0–80%, alapérték 40%) és az $r$ kockázatmentes kamat (0–8%, alapérték 3%). A grafikon a kockázatmentes és a kockázatos zérókupon-hozamot mutatja a lejárat függvényében, 0,25 és 10 év között. A kijelzők az 5 éves túlélési valószínűséget, az 5 éves hitelfelárat, a $\lambda(1 - R)$ CDS-díjat és az 5 éves kockázatos zérókupon-kötvény árát mutatják; alapbeállításnál ezek 90,48%, 1,18%, 1,20% és 0,8116. Told $R$ -et a maximumra, és figyeld, ahogy a rés szűkül; 100%-os megtérülésnél (a képlet határesete) a felár teljesen eltűnne. Növeld $\lambda$ -t, és a kockázatos görbe felfelé tolódik. Figyeld meg azt is, hogy állandó $\lambda$ mellett a felár a lejárattól szinte független, csak hosszú lejáratnál csökken kicsit, ahol $\lambda T$ már nem kicsi.

Kockázatmentes és kockázatos zérókupon-hozamokMegnyitás: Kötvénylabor →

Csődintenzitás λ2.00%

00.1

Megtérülési ráta R40%

00.8

Kamat r3.00%

00.08

Kockázatmentes hozamKockázatos hozam

5 éves túlélési valószínűség: 90.48%
5 éves hitelfelár: 1.18%
CDS-felár λ(1 − R): 1.20%
5 éves kockázatos zérókupon ára: 0.8116

Kockázatsemleges és historikus csődvalószínűség

A háromszöget visszafelé olvasva egy piaci $s$ felárból és egy feltételezett $R$ megtérülésből a $\lambda = s/(1 - R)$ implikált csődintenzitás adódik. Ez kockázatsemleges csődintenzitás: az, amelyikkel a képlet visszaadja a piaci árakat. Jellemzően jóval magasabb a hasonló kibocsátóknál megfigyelt historikus csődgyakoriságnál. A felár ugyanis nemcsak a várható veszteséget tartalmazza: a befektetők prémiumot kérnek a csődkockázat viseléséért, mert a csődök jellemzően akkor halmozódnak, amikor mindenkinek rosszul megy, és azért is, mert ezeket a kötvényeket nehezebb eladni, mint az állampapírokat (likviditási prémium). Árazáshoz és fedezéshez az implikált $\lambda$ kell, a tényleges veszteségek előrejelzéséhez a historikus gyakoriság.

Hitel-nemteljesítési csereügyletek

A hitel-nemteljesítési csereügylet (credit default swap, CDS) egy referencia-kibocsátó csődje elleni biztosítás. A védelem vevője évente rögzített $s_{\text{CDS}}$ díjat fizet egy névleges összeg után a lejáratig vagy a csődig, amelyik előbb bekövetkezik. Csőd esetén a védelem eladója névleges egységenként $1 - R$ -et fizet. Ahogy a „Kamatcsereügyletek” swapjainál, a méltányos díj a két láb jelenértékét teszi egyenlővé. Folytonos díjfizetéssel, állandó $\lambda$ -val és $r$ -rel, és ha a védelmet a csőd pillanatában fizetik ki:

s_{\text{CDS}}\int_0^T e^{-(r+\lambda)t}\,dt = (1 - R)\int_0^T \lambda\,e^{-(r+\lambda)t}\,dt \quad\Longrightarrow\quad s_{\text{CDS}} = \lambda\,(1 - R).

Itt $e^{-\lambda t}$ annak valószínűsége, hogy $t$ -ben még fizetik a díjat, $\lambda e^{-\lambda t}\,dt$ pedig annak, hogy a csőd a $[t, t + dt]$ intervallumba esik. Ebben a keretben a háromszög a CDS-re pontosan teljesül; a példa kötvényének 1,176%-os felára azért tér el kissé, mert ott a megtérülést lejáratkor fizetik, nem a csőd pillanatában. A gyakorlatban több lejáratra jegyzett CDS-díjakból lejáratonként, egymás után haladva (bootstrapping) építik fel a csődintenzitások lejárati szerkezetét, ahogy az azonnali kamatokat is a kötvényárakból nyertük ki.

Összefoglalás

A $\lambda$ csődintenzitás a túlélés feltétele melletti, egységnyi időre jutó csődvalószínűség; állandó $\lambda$ mellett a túlélési valószínűség $e^{-\lambda T}$ .
Ha a névérték $R$ hányadát lejáratkor fizetik meg, $P_{\text{kock}} = e^{-rT}[e^{-\lambda T} + (1 - e^{-\lambda T})R]$ .
A hitelfelár közelítőleg $\lambda(1 - R)$ , ami kis $\lambda T$ mellett pontos; $\lambda = 2\%$ , $R = 40\%$ esetén az 5 éves felár 1,176%, szemben az 1,20%-kal.
Az implikált (kockázatsemleges) csődintenzitás meghaladja a historikus csődgyakoriságot, mert a felár kockázati és likviditási prémiumot is tartalmaz.
A CDS egy díjat cserél csőd esetén fizetett $1 - R$ összegre; méltányos díja körülbelül $\lambda(1 - R)$ .

2 kérdés ehhez a leckéhez a sorozat végén →

Hitelkockázat: csődvalószínűség és hitelfelár

8. lecke / 81 perc

Csőd és a csőd időpontja

Csődintenzitás és túlélési valószínűség

A csődintenzitás (angolul hazard rate) $\lambda$ az egységnyi időre jutó csődvalószínűség, feltéve, hogy a kibocsátó addig nem ment csődbe. Egy rövid $dt$ időszakra

\mathbb{P}(t < \tau \le t + dt \mid \tau > t) = \lambda\,dt.

Q(t + dt) = Q(t)\,(1 - \lambda\,dt) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dQ}{dt} = -\lambda\,Q(t), \qquad Q(0) = 1.

Állandó $\lambda$ mellett a megoldás exponenciális, a kumulatív csődvalószínűség pedig ennek komplementere:

Q(T) = e^{-\lambda T}, \qquad \mathbb{P}(\tau \le T) = 1 - e^{-\lambda T}.

Megtérülés és csőd esetén elszenvedett veszteség

Csődkockázatos zérókupon-kötvény árazása

P_{\text{kock}} = e^{-rT}\Big[\,Q(T)\cdot 1 + \big(1 - Q(T)\big)\cdot R\,\Big] = e^{-rT}\Big[e^{-\lambda T} + \big(1 - e^{-\lambda T}\big)R\Big].

Két ellenőrzés: $\lambda = 0$ mellett a kötvény sosem megy csődbe, és az ár a kockázatmentes $e^{-rT}$ ; $R = 1$ mellett a csőd semmibe sem kerül, és az ár ismét $e^{-rT}$ .

Hitelfelár

s(T) = y - r = -\frac{1}{T}\ln\Big[e^{-\lambda T} + \big(1 - e^{-\lambda T}\big)R\Big] = -\frac{1}{T}\ln\Big[1 - (1 - R)\big(1 - e^{-\lambda T}\big)\Big].

A hitelháromszög

Kis $\lambda T$ esetén használjuk az $1 - e^{-\lambda T} \approx \lambda T$ és a kis $x$ -re érvényes $\ln(1 - x) \approx -x$ közelítést:

s(T) \approx -\frac{1}{T}\ln\big[1 - (1 - R)\lambda T\big] \approx \frac{(1 - R)\lambda T}{T} = \lambda\,(1 - R).

Hitelháromszög: $s \approx \lambda\,(1 - R)$ . A felár a várható veszteségráta: csődintenzitás szorozva a csőd esetén elszenvedett veszteséggel.

Számpélda

Legyen $\lambda = 2\%$ , $R = 40\%$ , $r = 3\%$ és $T = 5$ év.

Kidolgozott példa

Egy ötéves kockázatos zérókupon-kötvény ára és hitelfelára

Túlélési valószínűség öt évre.
$\displaystyle Q(5) = e^{-0{,}02 \cdot 5} = e^{-0{,}1}$ 0,9048
Csődvalószínűség az öt év alatt, százalékban.
$\displaystyle 1 - Q(5)$ 9,52%
Ár névértékegységenként: túléléskor 1, csődkor $R = 0{,}4$ a kifizetés lejáratkor; a diszkonttényező $e^{-0{,}15} \approx 0{,}8607$ , a kockázatmentes ár.
$\displaystyle P_{\text{kock}} = e^{-0{,}15}\,\big[Q(5) + (1 - Q(5)) \cdot 0{,}4\big]$ 0,8116
A kockázatos zérókupon-kötvény folytonos hozama.
$\displaystyle y = -\ln P_{\text{kock}}/5$ 4,176%
Hitelfelár a 3%-os kockázatmentes kamat fölött; bázispontban körülbelül 118.
$\displaystyle s(5) = y - r$ 1,176%
A hitelháromszög, amely körülbelül 2,4 bázisponttal tér el a pontos felártól.
$\displaystyle \lambda(1 - R) = 0{,}02 \cdot 0{,}6$ 1,2%

Ha viszont $\lambda = 10\%$ , az 5 éves pontos felár nagyjából 5,39%, a háromszög pedig 6%-ot ad: $\lambda T$ növekedésével a közelítés romlik.

A felár és a lejárat

Kockázatmentes és kockázatos zérókupon-hozamokMegnyitás: Kötvénylabor →

Csődintenzitás λ2.00%

00.1

Megtérülési ráta R40%

00.8

Kamat r3.00%

00.08

Kockázatmentes hozamKockázatos hozam

5 éves túlélési valószínűség: 90.48%
5 éves hitelfelár: 1.18%
CDS-felár λ(1 − R): 1.20%
5 éves kockázatos zérókupon ára: 0.8116

Kockázatsemleges és historikus csődvalószínűség

Hitel-nemteljesítési csereügyletek

s_{\text{CDS}}\int_0^T e^{-(r+\lambda)t}\,dt = (1 - R)\int_0^T \lambda\,e^{-(r+\lambda)t}\,dt \quad\Longrightarrow\quad s_{\text{CDS}} = \lambda\,(1 - R).

Összefoglalás

A $\lambda$ csődintenzitás a túlélés feltétele melletti, egységnyi időre jutó csődvalószínűség; állandó $\lambda$ mellett a túlélési valószínűség $e^{-\lambda T}$ .
Ha a névérték $R$ hányadát lejáratkor fizetik meg, $P_{\text{kock}} = e^{-rT}[e^{-\lambda T} + (1 - e^{-\lambda T})R]$ .
A hitelfelár közelítőleg $\lambda(1 - R)$ , ami kis $\lambda T$ mellett pontos; $\lambda = 2\%$ , $R = 40\%$ esetén az 5 éves felár 1,176%, szemben az 1,20%-kal.
Az implikált (kockázatsemleges) csődintenzitás meghaladja a historikus csődgyakoriságot, mert a felár kockázati és likviditási prémiumot is tartalmaz.
A CDS egy díjat cserél csőd esetén fizetett $1 - R$ összegre; méltányos díja körülbelül $\lambda(1 - R)$ .

2 kérdés ehhez a leckéhez a sorozat végén →