Delta és fedezés

„Az egylépéses binomiális modell” leckében a replikáló portfólió $\Delta$ részvényszáma két egyenlet megoldásaként jelent meg. Ez a lecke megmutatja, hogy $\Delta$ egyben érzékenység is: mennyit változik az opció értéke, ha a részvényár elmozdul. Ebből az olvasatból lesz a replikációból gyakorlati eszköz, a fedezés, és ebből jutunk el egy második érzékenységhez, a gammához, amely azt méri, mennyire tart ki egy fedezés. A lecke a „Többlépéses fák és visszafelé indukció” anyagára épül.

Delta a binomiális fában

Vegyük a binomiális fa egy csomópontját. A pillanatnyi $S$ részvényárból az ár $S_u = uS$-re vagy $S_d = dS$-re lép, az opció értéke ekkor $C_u$ vagy $C_d$. A replikáló portfólió $\Delta$ darab részvényt tart, ahol

Ez változások hányadosa: az opció értékének változása osztva a részvényár változásával. Az egylépéses lecke példájában ($S_0 = 100$, $u = 1{,}2$, $d = 0{,}9$, $K = 100$) a vételi opció 20-at vagy 0-t fizet, a részvény 120-on vagy 90-en zár, így $\Delta = 20/30 \approx 0{,}667$. A részvény minden egységnyi elmozdulása nagyjából kétharmad egységgel mozdítja az opciót.

Delta mint derivált

Csökkentsük a $\Delta t$ időlépést, ahogy a többlépéses fáknál. Ekkor $S_u$ és $S_d$ egyre közelebb kerül $S$-hez, és a fenti különbségi hányados deriválttá válik. Jelölje $C(S, t)$ az opció értékét a pillanatnyi részvényár és az idő függvényében. Ekkor

Geometriailag $\Delta$ az $S \mapsto C(S,t)$ görbe meredeksége a mai árnál. Vételi opciónál ez a görbe növekvő és konvex: mélyen pénzen kívül lapos (az opció szinte semmit sem ér, bármit tesz a részvény), mélyen pénzen belül párhuzamos az $S - Ke^{-rT}$ egyenessel. A call deltája ezért mindig 0 és 1 közé esik:

Az eladási opció deltája $-1$ és $0$ között van, mert értéke csökken, ha a részvény drágul.

A fedezett portfólió

Tegyük fel, hogy van egy vételi opciód, és meg akarod szüntetni a kis részvényár-mozgásokkal szembeni kitettségedet. Shortolj $\Delta$ darab részvényt. Az együttes pozíció

Egy rövid időszak alatt a részvényár $dS$-sel változik. Elsőrendben az opció $\Delta\,dS$-sel, a rövid részvénypozíció $-\Delta\,dS$-sel változik, így

Azt a pozíciót, amelynek elsőrendű érzékenysége a részvényárra nulla, delta-semlegesnek nevezzük. Ez a fás leckék replikáló portfóliója fordított irányból nézve: ahelyett, hogy részvényből és kötvényből rakjuk össze az opciót, az opció részvénykitettségét részvénnyel semlegesítjük.

A $\Delta = \partial C/\partial S$ delta az a részvényszám, amely lokálisan replikálja az opciót. A $C - \Delta S$ pozíció érzéketlen a kis részvényár-mozgásokra.

Gamma és a fedezési hiba

A fenti kioltás csak elsőrendben pontos. $C$ Taylor-sora $S$ szerint, a rövid időszak alatti időmúlást elhanyagolva:

A gamma ($\Gamma$) az értékgörbe görbülete: azt méri, milyen gyorsan változik maga a delta, ha $S$ elmozdul. A fedezett portfólióba helyettesítve a lineáris tagok kiesnek, és ez marad:

Vételi opció tulajdonosánál $\Gamma > 0$, így a fedezett pozíció minden nagy mozgáson nyer egy keveset, akár felfelé, akár lefelé. A hiba a mozgás négyzetével nő: kétszer akkora mozgásnál négyszer akkora. A gamma a pénz körüli, lejárathoz közeli opcióknál a legnagyobb, ahol az értékgörbe a legélesebben hajlik.

Az ábra a vételi opció értékét mutatja $S$ függvényében ($K = 100$, $r = 5\%$), a mai $S_0$ árhoz húzott érintővel együtt; az érintő meredeksége $\Delta$. A szaggatott vonal a lejáratkori kifizetés. A görbe és az érintő közti függőleges távolság éppen a fedezési hiba; a kijelzők ezt 10 egységnyi emelkedésre és esésre mutatják. Mozgasd $S_0$-t, és figyeld, ahogy $\Delta$ közel 0-ról közel 1-re nő; csökkentsd $T$-t vagy $\sigma$-t, és látni fogod, hogy a görbe szorosabban simul a kifizetéshez, a $K$-nál lévő törés élesebb lesz, és a kötési ár körül nő $\Gamma$.

Számpélda

Legyen $S_0 = 100$, $K = 100$, $r = 5\%$, $\sigma = 20\%$, $T = 1$. A vételi opció értéke kb. 10,45, $\Delta \approx 0{,}637$ és $\Gamma \approx 0{,}0188$. Egy árjegyző, aki 100 callt adott el, nagyjából 63,7 részvény megvételével fedez.

Ha a részvény 110-re ugrik, az érintő $10{,}45 + 0{,}637 \cdot 10 \approx 16{,}82$ opcióértéket jósol, a valódi érték viszont kb. 17,66. A különbség opciónként kb. 0,84. 90-re eséskor a különbség kb. 1,01. A gammából adódó becslés $\tfrac{1}{2} \cdot 0{,}0188 \cdot 10^2 \approx 0{,}94$, a kettő között. Mindössze 1 egységnyi mozgásnál a hiba kb. 0,009, százszor kisebb, ahogy a négyzetes szabály mondja.

Újrasúlyozás

A delta változik, valahányszor $S$ vagy $t$ változik, ezért a ma beállított fedezés csak ma pontos. A delta-semlegesség fenntartása újrasúlyozást igényel: rendszeres időközönként újraszámoljuk $\Delta$-t, és igazítjuk a részvényállományt. A fában ez minden csomópontban megtörténik, pontosan ezt írja elő a visszafelé indukció.

A gyakorlatban az újrasúlyozás diszkrét, mondjuk naponta egyszer. Két igazítás között a részvény véges mértékben mozdul el, és a $\tfrac{1}{2}\Gamma(dS)^2$ fedezési hiba felhalmozódik. Gyakoribb újrasúlyozással az egyes hibák kisebbek (a részvényár-elmozdulás négyzetével arányosak), viszont a kereskedési költség a tranzakciók számával nő. Gondolj az autóvezetésre: a kicsi, gyakori kormánykorrekciók a sávban tartanak, de mindegyik egy kis erőfeszítésbe kerül. Az opcióárazásban feltételezett tökéletes replikáció a folytonos, költségmentes újrasúlyozásnak felel meg.

Egy szimulált fedezés

Az ábra egy eladott callt követ három hónapon át ($S_0 = K = 100$, $\sigma = 20\%$, $r = 5\%$) egy szimulált pályán. A fedezett könyv $\Delta$ darab részvényt tart, és 1, 5 vagy 21 kereskedési naponként igazít; a fedezetlen könyv csak a díjat tartja. Nyomd meg a Lejátszás gombot, és figyeld napról napra mindkettőt. A fedezetlen eredmény a részvénnyel együtt leng, a fedezett a nulla közelében marad. A kijelzők 200 pálya végeredményének szórását mutatják: ez nagyjából az újrasúlyozási időköz négyzetgyökével nő, ahogy a $\tfrac12\Gamma(dS)^2$ hiba alapján várható.

Összefoglalás

• A fában $\Delta = (C_u - C_d)/(S_u - S_d)$ egyszerre a replikáló részvényszám és az opció részvényárra vett érzékenysége.
• Folytonos határesetben $\Delta = \partial C/\partial S$, az értékgörbe meredeksége; vételi opcióra $0 \le \Delta \le 1$.
• A $C - \Delta S$ portfólió delta-semleges; a megmaradó változása $\tfrac{1}{2}\Gamma(dS)^2$, ahol a gamma a görbület.
• A fedezést újra kell súlyozni; diszkrét újrasúlyozásnál intervallumonként kb. $\tfrac{1}{2}\Gamma(dS)^2$ hiba marad, amely rövidebb intervallumoknál kisebb.

A következő leckék a fát a részvény folytonos modelljével váltják fel. Abban a modellben a call deltájának zárt alakja van: $N(d_1)$.