Kötvényfutures és a legolcsóbban szállítható kötvény

A kötvény-határidős ügylet (kötvényfutures) egy tőzsdén kereskedett határidős ügylet államkötvényre. Különlegessége, hogy az eladó egy listáról választhatja ki, melyik kötvényt szállítja. Ez a lecke bemutatja, hogyan teszi összehasonlíthatóvá a tőzsde a különböző kötvényeket konverziós faktorokkal, mit fizet és mit kap ténylegesen az eladó a szállításkor, és miért változik a legolcsóbban szállítható kötvény, amikor a hozamok elmozdulnak. A „Kötvényárak és hozamok”, a „Duráció és konvexitás” és az „Arbitrázs és a határidős ár” című leckékre épül.

Kötvény-határidős ügyletek

A kötvényfutures arra kötelezi az eladót (a short felet), hogy egy rögzített napon, a szállítási napon, államkötvényt szállítson a vevőnek (a long félnek) egy ma rögzített áron. Mint minden határidős ügyletnél, a megkötéskor nem cserél gazdát semmi; a jegyzett határidős ár $F$ az az ár, amelyen a szállítás történik. Ebben a témakörben a kötvények névértéke 100, így $F$ itt mindig a határidős árat jelöli, 100 névértékre vetítve.

A tőzsde egyetlen részlet kivételével mindent szabványosít. Egyetlen kötvény megnevezése helyett a szerződés egy szállítható kosarat ad meg: minden olyan államkötvényt, amelynek hátralévő futamideje egy adott sávba esik, például 8,5 és 10,5 év közé egy tízéves szerződésnél. Hogy a kosárból melyik kötvényt szállítja, azt az eladó dönti el. Ez a választás a szállítási opció, és az eladót illeti.

A névleges kötvény és a konverziós faktorok

A kosárban lévő kötvények kuponja és lejárata különbözik, ezért az áruk is nagyon eltérő. Egy 7%-os kötvény sokkal többet ér, mint egy hasonló lejáratú 3%-os. Ha mindkettőért ugyanannyit kellene fizetni, a választás triviális lenne. A tőzsde ezért egy rögzített kuponú névleges kötvényt határoz meg, sok szerződésnél 6%-osat, és a határidős árat úgy jegyzi, mintha ezt a kötvényt szállítanák.

Minden szállítható kötvény kap egy konverziós faktort, $CF$: az 1 névértékre jutó árát akkor, ha a lejáratig számított hozama pontosan a névleges 6% lenne. Éves $c$ kuponnal és a szállításkor hátralévő $T$ évvel

A 6%-nál nagyobb kuponú kötvényre $CF > 1$, a kisebbre $CF < 1$. A valódi tőzsdék kerekítési szabályokat is alkalmaznak (a hátralévő futamidőt lefelé kerekítik egész negyedévekre, a faktort négy tizedesjegyre); a labor egy ilyen konvenciót követ, itt egész években számolunk.

Példa: három szállítható kötvény, A, B és C.

• A: 3%-os kupon, 10 év van hátra, $CF_A = 0{,}7792$.
• B: 5%-os kupon, 15 év van hátra, $CF_B = 0{,}9029$.
• C: 7%-os kupon, 25 év van hátra, $CF_C = 1{,}1278$.

Számlázási ár és szállítási költség

Amikor az eladó leszállít egy kötvényt, a vevő 100 névértékenként a számlázási árat fizeti:

ahol $AI$ a kötvény utolsó kuponfizetése óta felhalmozott kamat. A konverziós faktor az értékesebb kötvényekre felfelé, az olcsóbbakra lefelé skálázza a határidős árat.

A szállításhoz az eladónak birtokolnia kell a kötvényt, ami a piaci (nettó) árába, $P$-be, és ugyanabba a felhalmozott kamatba kerül. A felhalmozott kamat mindkét oldalon megjelenik és kiesik, így az eladó nettó szállítási költsége, más néven nettó bázisa,

Az eladó a legkisebb nettó költségű kötvényt szállítja: ez a legolcsóbban szállítható kötvény (cheapest-to-deliver, CTD). Másképp mondva a CTD az a kötvény, amelyre a $P/CF$ arány a legkisebb.

A határidős ár a szállítási napon

A szállítási napon a határidős ár egyetlen kosárbeli kötvény $P/CF$ arányát sem haladhatja meg. Ha meghaladná, egy kereskedő megvehetné azt a kötvényt, eladhatná a futurest, azonnal szállíthatna, és zsebre tehetné az $F \cdot CF - P > 0$ különbséget, ami az „Arbitrázs és a határidős ár” leckében látott fajta arbitrázs. Az eladók versenye $F$-et a legkisebb ilyen arányig nyomja le:

A CTD nettó költsége ekkor pontosan nulla, minden más kötvényé pozitív. A szállítás előtt a határidős árat ugyanígy a CTD határozza meg, kiegészítve az „Arbitrázs és a határidős ár” leckében látott tartási költséggel; ez a lecke a szállítási napnál marad.

A szállításkor $F = \min_i P_i/CF_i$. A minimumot adó kötvény a legolcsóbban szállítható, és a $P - F\cdot CF$ nettó költsége nulla.

A legolcsóbb kötvény változása a hozammal

Ha minden kötvény hozama pontosan 6% lenne, minden ár $100 \cdot CF$ lenne, minden $P/CF$ arány 100, és minden kötvény egyformán olcsó. A konverziós faktorok csak a névleges hozamon pontosak.

Bármely más hozamon a $P/CF$ arány a kötvény árát mutatja a 6%-os hozamhoz tartozó árához képest. A „Duráció és konvexitás” leckéből tudjuk, hogy ez a relatív változás a durációtól függ. 6%-os hozamon A, B és C Macaulay-durációja körülbelül 8,59, 10,66 és 13,16 év.

• Ha a hozamok 6% fölé emelkednek, minden ár esik, és relatíve a hosszú durációjú C esik a legjobban. Neki lesz a legkisebb $P/CF$ aránya, így ő lesz a CTD.
• Ha a hozamok 6% alá csökkennek, minden ár emelkedik, és a rövid durációjú A emelkedik a legkevésbé. Most neki a legkisebb a $P/CF$ aránya, így ő lesz a CTD.

Számpélda 4%-os egységes hozamon: az árak $P_A = 91{,}89$, $P_B = 111{,}12$ és $P_C = 146{,}87$. Az arányok $91{,}89/0{,}7792 = 117{,}93$, $111{,}12/0{,}9029 = 123{,}07$ és $146{,}87/1{,}1278 = 130{,}22$. Tehát $F = 117{,}93$, és A a CTD. A nettó költségek: A-ra 0, B-re $111{,}12 - 117{,}93 \times 0{,}9029 = 4{,}64$, C-re 13,86.

8%-on megfordul a sorrend. Számoljuk végig lépésről lépésre:

Az ábra A, B és C $P - F\cdot CF$ nettó szállítási költségét mutatja a 2% és 10% közötti egységes piaci hozam függvényében, a választott hozamnál egy függőleges vonallal. A kijelzők a CTD-t, az $F$ határidős árat, valamint minden kötvény konverziós faktorát és nettó költségét mutatják. Kezdd 6%-on, ahol mindhárom költség nulla, majd mozgasd a hozamot lefelé és felfelé, és figyeld, ahogy a CTD A-ról C-re vált.

A szállítási opció értéke

Mivel az eladó mindig a legolcsóbb kötvényt választja, a határidős ár alacsonyabb, mint bármely egyetlen, megnevezett kötvényre szóló ügylet ára lenne. A vevő ezt egy likvid, szabványosított szerződésért cserébe elfogadja. Minél messzebb kerülnek a hozamok a 6%-tól, annál jobban szétválnak a kötvények költségei, és annál többet ér a választás az eladónak. Aki kötvényfuturesszel fedez, annak ezért követnie kell, melyik kötvény a CTD: a futures árérzékenysége a CTD durációját követi, és ugrik, amikor a CTD vált.

Összefoglalás

• A kötvényfutures eladója egy kosárból bármelyik kötvényt szállíthatja; ez a szállítási opció.
• Egy kötvény konverziós faktora az 1 névértékre jutó ára a névleges 6%-os hozamon. A számlázási ár $F\cdot CF + AI$.
• A nettó szállítási költség $P - F\cdot CF$. A szállításkor $F = \min_i P_i/CF_i$, és a minimumot adó kötvény a legolcsóbban szállítható.
• A névleges hozam alatt jellemzően a legkisebb, felette a legnagyobb durációjú kötvény a CTD.